সাপ্তাহিক সমস্যা-২৪ এর সমাধান (Problem Weekly–24 with Solution)

Aug 22, 2023 | Problem Weekly (সাপ্তাহিক সমস্যা)

Problem Weekly-24:Number-lover Sauvik has bought a new toy that is made of many blocks side by side. Each block is like this- number on one side of the league and, alphabet on the other side. Sauvik noticed something interesting while playing with the toy. The interesting thing is that among the numbers written side by side; if anyone takes three numbers side by side from any direction or three consecutive numbers, the sum of the three numbers becomes 19. Sauvik now started thinking about a problem with this toy. He has placed some blocks in such a way that the alphabets are visible. And the rest of the blocks are placed so that only the number is visible. After this change, the toy looks like the picture given above.
So can you tell which number is opposite to block S from the given picture?

সমাধান: যেহেতু পাশাপাশি তিনটি ব্লকের সংখ্যার যোগফল 19, তাহলে আমরা প্রথম দিক থেকে তিনটা করে ব্লক নিলে তাদের যোগফল হবে 19। এখান থেকে আমরা বলতে পারি-

4+P+Q=19

P+Q+R=19

Q+R+S=19

R+S+T=19

S+T+U=19

T+U+V=19

U+V+8=19

V+8+W=19

এখানে মোট ৮টি সমীকরণ পাওয়া গেছে। যেহেতু সবগুলোই সমান, কাজেই আমর লিখতে পারি-

4+P+Q = P+Q+R

অর্থাৎ, নিশ্চিতভাবে বলা যাচ্ছে R=4 হবে।

একইভাবে আমরা লিখতে পারি,

U= W = 4

কারণ, R+S+T = S+T+U

এবং U+V+8 = V+8+W

আবার,

T+U+V = U+V+8

অর্থাৎ, T = 8

এবার, S এর মান খুব সহজেই আমরা বের করে ফেলতে পারবো। প্রদত্ত সমীকরণ থেকে লিখা যায়-  

R+S+T = 19

যেহেতু R=4 এবং T=8 তাহলে,

4+S+8 = 19

বা, S = 7

তাহলে S ব্লকের বিপরীতে 7 সংখ্যাটি থাকবে। এটাই আমাদের এই সপ্তাহের গাণিতিক সমস্যার উত্তর।

অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। তবে আমরা ৩ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-২৪ এ বিজয়ী তিনজন!

ছবি: সাপ্তাহিক সমস্যা-২৪ এর বিজয়ী তালিকা

যারা সমস্যাটির সমাধান করার চেষ্টা করেছো, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি তোমাদের সমস্যা সমাধানের এই চেষ্টা অব্যাহত থাকবে। তোমাদের সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!

(আমাদের অন্যান্য গাণিতিক সমস্যা দেখতে এই লিঙ্কে ক্লিক করুন।)

সাপ্তাহিক সমস্যা-২৩ এর সমাধান (Problem Weekly–23 with Solution)

Aug 8, 2023 | Problem Weekly (সাপ্তাহিক সমস্যা)

Problem Weekly-23: Geometric Jami is drawing various geometric figures as he likes in his notebook. First, he drew a point, then a line segment, then a triangle, quadrilateral, pentagon, and so on, he started drawing different polygons. Besides this, he began to mark the vertices of geometric figures with serial numbers
1, 2, 3, 4……
Now, how many sides will there be in the geometric figure that Jami will write the number 2023? Let’s start thinking about the solution! 

সমাধান: আমরা যদি শীর্ষবিন্দুগুলো গণনা শুরু করি, তাহলে দেখতে পাবো যে শীর্ষবিন্দুগুলোর সংখ্যাগুলো হবে-

1+2+3+4+5+6………

আমরা নিচের ছকে একটু হিসেব করে দেখি কোন জ্যামিতিক চিত্রে বিন্দুর সংখ্যা কয়টি হবে- 

একটু চিন্তা করলে বুঝতে পারবে, এখানে মোট বিন্দুর সংখ্যা মূলত 1 থেকে শুরু করে প্রথম n সংখ্যক ধনাত্মক সংখ্যার যোগফল। আমরা গাউসের সূত্র বা সমান্তর ধারার সূত্র থেকে জানি যে-

প্রথম n সংখ্যক ধনাত্মক সংখ্যার যোগফল হবে-   [n(n+1)/2]

নিচের ছকে তাহলে একটু হিসেব করে দেখি n এর বিভিন্ন মানের জন্য বিন্দুর সংখ্যা কেমন হবে-

খেয়াল করে দেখো, n এর মান 63 হলে মোট বিন্দুর সংখ্যা আমরা পাচ্ছি 2016, n এর মান 64 হলে আমরা পাচ্ছি 2080। 

সুতরাং, 64 বাহু বিশিষ্ট বহুভূজের শীর্ষবিন্দুতে 2023 লিখা থাকবে। এটাই আমাদের এই সপ্তাহের গাণিতিক সমস্যার উত্তর!

আমরা এই সমস্যাটির একটি বিকল্প সমাধানও চিন্তা করতে পারি। অসমতা ব্যবহার করলে সমস্যটির সমাধান এরকম হবে-

n এর সর্বনিম্ন মান তাহলে 64 হবে। অর্থাৎ, 64 বাহু বিশিষ্ট বহুভূজের শীর্ষবিন্দুতে 2023 লিখা থাকবে।

অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। তবে আমরা ২ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-২৩ এ বিজয়ী দুইজন!

ছবি: সাপ্তাহিক সমস্যা-২৩ এর বিজয়ী তালিকা

যারা সমস্যাটির সমাধান করার চেষ্টা করেছো, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি তোমাদের সমস্যা সমাধানের এই চেষ্টা অব্যাহত থাকবে। তোমাদের সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!

(আমাদের অন্যান্য গাণিতিক সমস্যা দেখতে এই লিঙ্কে ক্লিক করুন।)

সাপ্তাহিক সমস্যা-২২ এর সমাধান (Problem Weekly–22 with Solution)

Aug 1, 2023 | Problem Weekly (সাপ্তাহিক সমস্যা)

Problem Weekly-22: Geometric Jami is thinking about a math problem. Therefore, he draws a quadrilateral and two triangles in his notebook. Seeing Jami’s notebook, number-lover Souvik has thought of a geometry-related number problem. The problem is somewhat like this-

Souvik has written five numbers from 1 to 5 once in a circle at the vertices of the above geometric figures, the vertices are denoted as a, b, c, d, and e. And in each segment, he writes a number that determines the sum of the vertices of that segment. For example, the number 11 denotes the sum of the vertices of bcde quadrilateral, this is the same for other shapes as well. Sauvik now erases the numbers inside those circles and asks Jami to find out which number was in the middle circle i.e. in the circle e.

Jami started thinking about the problem. You also start thinking about how to solve this problem.

সমাধান: প্রদত্ত সমস্যা অনুসারে আমরা কয়েকটি সমীকরণ গঠন করতে পারি-

a+b+e = 9 …….(i)
a+e+d = 12 …….(ii)
b+c+d+e = 11 …….(iii)

যেহেতু a, b, c, d, eএই পাঁচটি রাশির মান 1 থেকে 5 এর মধ্যে হবে, আমরা তাহলে লিখতে পারি-

a+b+c+d+e = 1+2+3+4+5 = 15 …….(iv)

এখন সমীকরণ (iii) থেকে আমরা পাই-

b+c+d+e = 11

বা, a+b+c+d+e = 11+a  [উভয়পক্ষে a যোগ করি]

বা, 15 = 11+a  [সমীকরণ (iv) থেকে পাই]

বা, a = 4

প্রদত্ত a এর মান আমরা অন্যান্য সমীকরণে বসিয়ে পাই-

b+e = 5 ……..(v)
e+d = 8 ……..(vi)

এখন যেহেতু a = 4 এবং b+e = 5, তাহলে বলা যায়-

b=2,  e=3  অথবা  e=2,  b=3  হবে

কিন্তু e=2 হতে পারবে না, সেক্ষেত্রে সমীকরণ (vi) অনুযায়ী d=6 হবে যা প্রশ্ন অনুযায়ী অসম্ভব! অর্থাৎ,

b=2,  e=3  হবে

পাশাপাশি,

d=5  এবং  c=1  হবে

সুতরাং, মাঝের বৃত্তে মুছে দেয়া সংখ্যাটি 3 ছিলো! এটাই আমাদের এই সপ্তাহের গাণিতিক সমস্যার উত্তর।

অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। তবে আমরা ১ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-২২ এ বিজয়ী একজন!

ছবি: সাপ্তাহিক সমস্যা-২২ এর বিজয়ী তালিকা

যারা সমস্যাটির সমাধান করার চেষ্টা করেছো, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি তোমাদের সমস্যা সমাধানের এই চেষ্টা অব্যাহত থাকবে। তোমাদের সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!

(আমাদের অন্যান্য গাণিতিক সমস্যা দেখতে এই লিঙ্কে ক্লিক করুন।)

সাপ্তাহিক সমস্যা-২১ এর সমাধান (Problem Weekly–21 with Solution)

Jul 19, 2023 | Problem Weekly (সাপ্তাহিক সমস্যা)

মজার বিষয় হলো, এখানে সমীকরণে অজানা রাশি আছে তিনটি কিন্তু সমীকরণ দেয়া আছে দুইটি! সৌভিক অনেকক্ষণ চিন্তা করে একটা সমাধান বের করেছে, সেটা এরকম-

a = 5, b = 36, c = 56 এবং abc = 10080

আচ্ছা সৌভিকের উত্তর কি সঠিক? আর কোন উত্তর হওয়া সম্ভব এখানে? সম্ভব হলে তুমি কি সেটা বের করতে পারবে? 

Problem Weekly-21: Number-lover Souvik is studying Algebra nowadays. Algebraic equations are quite interesting. Solving all equations requires different ways of thinking. Yesterday Sauvik’s friend asked him to solve an interesting problem. The problem is described here-

a, b, c are three positive integers such that a + b + c = 97  and  [(4a/5) + (5b/6) + (6c/7) = 82]. Find the maximum value of abc.

The interesting thing is that there are three unknowns in the equation but the given equation is only two. Sauvik thought for a long time and came up with a possible solution like below-

a = 5, b = 36, c = 56 and abc = 10080

Well, is Souvik’s answer correct? Is there any other possible solution? If possible, can you figure out the solution(s)?

সমাধান: সমীকরণ দুইটি যথাক্রমে, 

a + b + c = 97 ……….(i)
[(4a/5) + (5b/6) + (6c/7) = 82] ……..(ii)

যেহেতু a, b, c তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, আমরা বলতে পারি-

a সংখ্যাটি 5 দ্বারা বিভাজ্য, b সংখ্যাটি 6 দ্বারা এবং c সংখ্যাটি 7 দ্বারা বিভাজ্য! (ভেবে দেখ তো কেন এটা হবে?)

সমীকরণ (ii) থেকে আমরা বলতে পারি, 5, 6 এবং 7 এর লসাগু (LCM) হচ্ছে 210। তাহলে সমীকরণটিকে লিখা যায়- 

(4a/5) + (5b/6) + (6c/7) = 82

বা, 168a + 175b + 180c = 17220

উপরে আমরা a, b এবং c এর বিভাজ্যতা নিয়ে আলোচনা করেছি। আমরা ধরে নিতে পারি-

 a = 5d, b = 6e এবং c = 7f 

এই মানগুলো আমরা সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই- 

5d + 6e + 7f  = 97 ……….(iii)

আবার, সমীকরণ (ii) এ আগের মানগুলো বসিয়ে পাই-

{(4×5d)/5} + {(5×6e)/6} + {(6×7f)/7} = 82

বা, 4d + 5e + 6f = 82 ……..(iv)

সমীকরণ (iii) থেকে সমীকরণ (iv) বিয়োগ করে পাই-

(5d + 6e + 7f) – (4d + 5e + 6f) = 97 – 82

বা, d + e + f = 15 ……..(v)

সমীকরণ (v) থেকে আমরা এটা নিশ্চিত যে, d,  e এবং  f এর ভিন্ন তিনটি মানের যোগফল 15 হবে। এখানে অনেকগুলো মানই সম্ভব, তবে কোনটি সর্বোচ্চ মান হবে সেটার জন্য আরেকটু সহজ উপায় বের করতে হবে বা আরো কম সংখ্যক মান হিসেব করে উত্তর বের করার চেষ্টা করতে হবে। একটা ভালো উপায় হচ্ছে d,  e এবং  f এর মান হিসেব করার জন্য আরেকটা সমীকরণ বের করা, যাতে করে আমরা আরো নিশ্চিত হয়ে সর্বোচ্চ মানের হিসেব করতে পারি।
এখন সমীকরণ (v) কে 6 দ্বারা গুণ করে তার থেকে সমীকরণ (iv) কে বিয়োগ করে পাই-

(6d + 6e + 6f) – (4d + 5e + 6f) = 90 – 82
বা, 2d + e = 8 

এবার  d,  e এবং f এর সম্ভাব্য মান যা যা হতে পারে, সেগুলো নিচের টেবিলে হিসেব করে দেখা যাক-

দেখা যাচ্ছে মাত্র 3 বার আমরা d, e এবং f এর মান বসিয়েছি এবং abc এর সর্বোচ্চ মান হিসেব করেছি। মূলত, 2d + e = 8 সমীকরণটি আমাদের কাজ সহজ করে দিয়েছে, d এর দ্বিগুণ এবং e এর মানের যোগফল 8 এর বেশি হয় এরকম কোন মান আমাদের হিসেব করা লাগেনি। আচ্ছা, আর কোন মান ধরলে কি এরচেয়ে বেশি গুণফল পাওয়া যেত? চিন্তা করে দেখো তো… 

তাহলে, abc = 15120 মানটি আমাদের এই সপ্তাহের গাণিতিক সমস্যার উত্তর।

অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। তবে আমরা এবার কোন সঠিক উত্তর পাইনি, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-২১ এ কাউকে বিজয়ী ঘোষণা করা যাচ্ছে না!

যারা সমস্যাটির সমাধান করার চেষ্টা করেছো, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি তোমাদের সমস্যা সমাধানের এই চেষ্টা অব্যাহত থাকবে। তোমাদের সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!

(আমাদের অন্যান্য গাণিতিক সমস্যা দেখতে এই লিঙ্কে ক্লিক করুন।)

সাপ্তাহিক সমস্যা-২০ এর সমাধান (Problem Weekly–20 with Solution)

Jul 11, 2023 | Problem Weekly (সাপ্তাহিক সমস্যা)

সাপ্তাহিক সমস্যা-২০: সংখ্যাভাবুক সৌভিক ঈদের ছুটিতে বরাবরের মতোই সংখ্যা নিয়ে চিন্তা-ভাবনা করছে। সে বেশকিছু সংখ্যা তৈরি করেছে যেখানে প্রতিটি অংক হয় ০ না হয় ১, যেমন- ১০১০১০ এরকম একটি সংখ্যা। মজার বিষয় হলো, এই সংখ্যাটি আবার ৬ দ্বারা বিভাজ্য। সৌভিক একইভাবে এরকম আরো অনেকগুলো সংখ্যা খুঁজে বের করার চেষ্টা করলো। সৌভিক সবশেষে ২০টি ভিন্ন সংখ্যা খুঁজে বের করলো যারা নিচের শর্তগুলো মেনে চলে-

১. প্রতিটি সংখ্যা শূন্য (০) অথবা এক (১), এই দুইটি অঙ্ক দিয়ে গঠিত।

২. প্রদত্ত সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য।

৩. সংখ্যাটি ১০০০০০০০০ থেকে ছোট।

উদাহরণ হিসেবে বলা যায়, ১০১০১০ সংখ্যাটি উপরের তিনটি শর্তই মেনে চলে।

আচ্ছা তোমরা কি সৌভিক এর সাথে একমত? এই তিনটি শর্ত মেনে চলে, এমন সংখ্যা কি আসলে ২০টি নাকি কম-বেশি হতে পারে?

Problem Weekly-20: Number-lover Souvik is thinking about numbers as always during the Eid vacation. He is making numbers where each digit is either 0 or 1. For example, 101010 is one of those numbers. Interestingly, this number is divisible by 6. Souvik has tried to find many more such numbers. He eventually finds 20 different numbers that satisfy the following conditions-

1. Each digit of the number consists of zero (o) or one (1) digit.

2. The number is divisible by six.

3. The number is less than 100000000.

For example, the number 101010 satisfies the above three conditions.

Do you agree with Souvik? Are there actually 20 numbers that satisfy these three conditions or is it more or less than the given number?

সমাধান: যেহেতু সংখ্যাটি 6 দ্বারা বিভাজ্য, তাহলে বলা যায় সংখ্যাটিকে অবশ্যই জোড় হতে হবে। আবার সংখ্যাটিতে শুধুমাত্র 1 বা 0 এই অংকগুলো আছে, তাই সংখ্যাটির শেষে অবশ্যই 0 থাকতে হবে।

যেহেতু সংখ্যাটি 6 দ্বারা বিভাজ্য, তাই সংখ্যাটি অবশ্যই  2 এবং 3 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

আমরা জানি, 3 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যার ক্ষেত্রে সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফলকে অবশ্যই 3 দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।

প্রদত্ত শর্তানুসারে, সংখ্যাটি অবশ্যই 100000000 এর চেয়ে ছোট হবে। এখান থেকে আমরা বলতে পারি, সংখ্যাটিতে সর্বোচ্চ 7 টি অশূন্য সংখ্যা বা 1 থাকতে পারবে! (এটা কীভাবে নিশ্চিত হলাম আমরা? কারণ খুঁজে বের করো।)

সংখ্যাটিতে যেহেতু সর্বাধিক 8টি অংক থাকতে পারবে, তাই সংখ্যাটিকে abcdefg0 হিসেবে লিখা যায় যেখানে a, b, c, d, e, f এবং g এর মান 0 অথবা 1 হতে পারে।

এখন আমাদের এরকম সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যাদের অঙ্কের যোগফল 3 অথবা 6। যদি সংখ্যাটিতে 1 অঙ্কটি  6 বার  থাকে, তাহলে 1-কে যেখানে যেখানে বসানো যেতে পারে যেগুলো বের করি-  

    11111100

    11111010

    11110110

    11101110

    11011110

    10111110

    01111110 

এমন সংখ্যা হতে পারে মোট 7 টি! ((এখানে 01111110 সংখ্যাটি সাত অঙ্কের সংখ্যাকে নির্দেশ করছে)

যদি সংখ্যাটিতে 1 অঙ্কটি 3 বার থাকে, তাহলে 1 অঙ্কটিকে যেসব জায়গায় বসানো যেতে পারে সেটা বের করি-

এখানে মোট 35টি সংখ্যা আছে যারা উপরের শর্ত মেনে চলে। তাহলে মোট সংখ্যা হবে- 35 + 7 = 42 টি ।

(বি. দ্র. যারা বিন্যাস সমাবেশ সম্পর্কে জানে, তারা কিন্তু না গুনেই বের করতে পারবে। যেমন: 7C3 = 35 এবং 7C6 = 7)

সুতরাং, 42টি সংখ্যা আছে যারা উপরের তিনটি শর্ত মেনে চলে! এটাই আমাদের এই সপ্তাহের গাণিতিক সমস্যার উত্তর।

অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। শুধুমাত্র ২ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-২০ এ আমাদের বিজয়ী ২ জন!

ছবি: সাপ্তাহিক সমস্যা-২০ এর বিজয়ীদের তালিকা

যারা উত্তর পাঠিয়েছেন, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি আপনাদের সমস্যা সমাধানের এই যাত্রা অব্যাহত থাকবে। সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!

(আমাদের অন্যান্য গাণিতিক সমস্যা দেখতে এই লিঙ্কে ক্লিক করুন।)