সাপ্তাহিক সমস্যা-২৯ এর সমাধান (Problem Weekly–29 with Solution)

Oct 24, 2023 | Problem Weekly (সাপ্তাহিক সমস্যা)

সমাধান: একটু ভালোভাবে চিন্তা করলে বুঝতে পারবে যে, সৌভিক ও তার মামাতো ভাইবোনদের বয়সের গুণফল ৩৮৪০ কে যদি মৌলিক উৎপাদকে (Prime Factorization) বিশ্লেষণ করা যায়, তাহলেই সবার বয়স বের করা সম্ভব! তাহলে, ৩৮৪০ সংখ্যাটিকে আমরা নিচের মতো করে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে পারি:

৩৮৪০ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫ = ২^৮ × ৩ × ৫

প্রশ্নমতে, সৌভিকদের মধ্যে সবচেয়ে বড় ব্যক্তিটি সবচেয়ে ছোট ব্যক্তির বয়সের ৪ গুণ। তাহলে ৩৮৪০ সংখ্যাটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ আমরা আরেকবার খেয়াল করি,

৩৮৪০ = ২^৮ × ৩ × ৫
= ২^৬ × ২^২ × ৩ × ৫
= ২^৪ × ২^২ × ২^২ × ৩ × ৫

এখন খেয়াল করো, শর্তমতে যদি সবচেয়ে ছোট মানুষটির বয়স ১ বছর হয়, তবে সবচাইতে বড় মানুষটির বয়স হওয়ার কথা ৪ বছর। কিন্তু আমরা উৎপাদকগুলো লক্ষ্য করলে দেখতে পাচ্ছি, সর্বোচ্চ মৌলিক উৎপাদক হচ্ছে ৫। সুতরাং সৌভিক এবং তার মামাতো ভাইবোনদের মধ্যে কারো বয়সই এক বছর হওয়া সম্ভব না! যদি কারো বয়স ২ বছর হয়, সর্বোচ্চ বয়সের ব্যক্তি হতে হবে ৮ বছরের। সেক্ষেত্রে আমরা লিখতে পারি,

৩৮৪০ = ২ × ২^২ × ২^২ × ২^৩ × ৩ × ৫
= ২ × ৪ × ৪ × ৮ × ৩ × ৫
(এ গুণফলকে চাইলে এভাবেও লিখা যায়: ২ × ২ × ৪ × ৮ × ৬ × ৫)

এখান থেকে দেখা যাচ্ছে যে, সৌভিক ও তার মামাতো ভাইবোন মিলে পার্কে মোট ৬ জন ছিলো। এদের বয়স যথাক্রমে ২ বছর, ৩ বছর, ৪ বছর, ৪ বছর, ৫ বছর এবং ৮ বছর। এখান থেকে ৪ জনই ফ্রি টিকেটে পার্কে ঢুকতে পারতো, দুইজনের জন্য অর্ধেক দামে টিকেট কেনা লাগতো।

প্রশ্ন হচ্ছে, এটাই কী একমাত্র উত্তর? নাকি ভিন্ন উত্তরও সম্ভব? লিখার বাকি অংশ পড়ার আগে একটু ভেবে দেখো তো!

খেয়াল করো, সবচেয়ে ছোট ব্যক্তির বয়স যদি ৩ বছর হয়, তবে সবচাইতে বড় যে তার বয়স হতে হবে ১২ বছর যা অসম্ভব! কারণ আমরা উৎপাদকে বিশ্লেষণ থেকে দেখতে পাচ্ছি, ৩ সংখ্যাটি উৎপাদক হিসেবে আছে মাত্র ১ বার, ৩ এর চারগুণ বা ১২ পেতে হলে অন্তত আরো একটি ৩ এর প্রয়োজন হবে।

কিন্তু সবচেয়ে ছোট মানুষটির বয়স যদি ৪ বছর হয় তবে সবচেয়ে বড় মানুষটির বয়স হতে হবে ১৬ বছর, যা ৩৮৪০ এর মৌলিক উৎপাদক সমূহকে নতুন করে সাজালে সম্ভব হয়! আমরা হিসেব করে পাই,

  ৩৮৪০ = ২^৪ × ২^২ × ২^২ × ৩ × ৫
= ৪ × ৪ × ১৫ × ১৬
= ৪ × ৫ × ১২ × ১৬
= ৪ × ৬ × ১০ × ১৬

উপরে আমরা কয়েকটি ভিন্ন উপায়ে উৎপাদকগুলোর গুণফলকে প্রকাশ করেছি। সকল ক্ষেত্রেই সৌভিক ও তার মামাতো ভাইবোনদের সংখ্যা হয় ৪ জন কিন্তু টিকেটের ক্ষেত্রে হিসেব ভিন্ন ভিন্ন হয়। অর্থাৎ কখনো অর্ধেক দামের ২টি টিকেট কিনতে হবে, কখনো ৩টি কিনতে হবে ইত্যাদি। তোমরা চাইলে আরো কোন উত্তর হওয়া সম্ভব কি না সেটা ভেবে দেখতে পারো। পাশাপাশি, সবচেয়ে কম কিংবা সবচেয়ে বেশি কয়টি টিকেট কিনে পার্কে প্রবেশ করা যাবে সেটাও হিসেব করতে পারো।

অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। তবে কার সঠিক উত্তর আমরা পাই নি, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-২৯ এ কাউকে বিজয়ী ঘোষণা করা গেল না!

যারা সমস্যাটির সমাধান করার চেষ্টা করেছো, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি তোমাদের সমস্যা সমাধানের এই চেষ্টা অব্যাহত থাকবে। তোমাদের সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!

(আমাদের অন্যান্য গাণিতিক সমস্যা দেখতে এই লিঙ্কে ক্লিক করুন।)

সাপ্তাহিক সমস্যা-২৮ এর সমাধান (Problem Weekly–28 with Solution)

Oct 17, 2023 | Problem Weekly (সাপ্তাহিক সমস্যা)

Problem Weekly-28: Number-lover Souvik is thinking about numbers as always. He has written a random three-digit number “A” in his notebook. Again, he has noticed that if the digits of the number “A” are reversed, a three-digit number “B” is obtained. Then Sauvik adds these two three-digit numbers and has got the sum to be 1656.
Can you tell us which number Souvik wrote at first?

সমাধান: যেহেতু A একটি তিন অংকের সংখ্যা তাই আমরা লিখতে পারি-

A = 100a + 10b + c 

[এখানে a, c এর মান 0 হবে না, এদের মান 9 এর সমান বা তার থেকে ছোট হবে, এবং  0 <= b <= 9 হবে]

যেমন 714 কে আমরা এভাবে লিখতে পারি-

714 = 7 × 100 + 1 × 10 + 4

যেহেতু A সংখ্যাটির অঙ্কগুলো উল্টিয়ে লিখলে একটি তিন অঙ্কের সংখ্যা B পাওয়া যায়, তাই আমরা লিখতে পারি-

B = 100c + 10b + a

প্রশ্নমতে, 

A + B = 1656

বা, 100a + 10b + c + 100c + 10b + a = 1656

বা, 101a + 20b + 101c  = 1656

বা, 20b = 1656 – 101(a+c)

বা, b = [1656 – 101 (a+c)] / 20

যেহেতু b একটি পূর্ণসংখ্যা, তার মানে ডানপাশের ভগ্নাংশের লবকে অবশ্যই 20 দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে বা লবের সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক 1 হতে হবে। (এটা কেন নিশ্চিত করে বলতে পারলাম? চিন্তা করে দেখো তো!)

তাহলে, (a+c) এর মান 6 বা 16 হতে হবে।

কিন্তু (a+c) এর মান 6 হলে b এর মান 9 এর চেয়ে বড় হয়ে যায় যেটা প্রদত্ত তথ্য অনুসারে সম্ভব না। (কারণ b এর মান 5 হতে পারবে।)

তাহলে বলা যায়,

(a+c) = 16

এবং b এর মান হবে- 

b = [1656 – (101 × 16)] / 20

যেহেতু (a+c) = 16, তাহলে a এবং c এর সম্ভাব্য মান হবে-

(a, c) = (9, 7) , (8, 8), (7, 9) 

তাহলে সৌভিক শুরুতে যে সংখ্যাটি লিখেছিল তার সম্ভাব্য মান হতে পারে,  927 বা 828 বা 729।

সুতরাং, উপরের তিনটি সংখ্যাই হচ্ছে আমাদের সাপ্তাহিক সমস্যা-২৮ এর উত্তর!

অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। তবে আমরা ৩ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-২৮ এ বিজয়ী তিনজন!

ছবি: সাপ্তাহিক সমস্যা-২৮ এর বিজয়ী তালিকা

যারা সমস্যাটির সমাধান করার চেষ্টা করেছো, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি তোমাদের সমস্যা সমাধানের এই চেষ্টা অব্যাহত থাকবে। তোমাদের সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!

(আমাদের অন্যান্য গাণিতিক সমস্যা দেখতে এই লিঙ্কে ক্লিক করুন।)

সাপ্তাহিক সমস্যা-২৭ এর সমাধান (Problem Weekly–27 with Solution)

Sep 12, 2023 | Problem Weekly (সাপ্তাহিক সমস্যা)

Problem Weekly-27: Number-lover Souvik has recently learned about algebra formulas, different types of equations, and how to solve those things. Now, he tries to solve various problems related to equations in his leisure time. Souvik’s friend Geometric Jami asked Souvik to solve a three-variable equation. The problem is like this –

x + 2y – z = 5

3x + 2y + z = 11

x(x+4y) + (2y+z)(2y-z) = 15

x^3 + y^3 + z^3 = ?  
(Here,  x, y, and z are three integers.)

Sauvik has tried for a long time to solve this problem. He has applied the concepts that he learned previously such as the elimination or substitution method of solving equations. Can you help Souvik to solve this problem?

সমাধান: প্রদত্ত তিনটি সমীরকণ এরকম-

x + 2y – z = 5 …..(i)

3x + 2y + z = 11 …..(ii)

x(x+4y) + (2y+z)(2y-z) = 15 …..(iii)

এবার সমীকরণ (i) এবং সমীকরণ (ii) যোগ করে পাই,

x + 2y – z + 3x + 2y + z = 11 + 5

বা, 4x + 4y = 16

বা,  x + y = 4

বা, y = 4 – x …..(iv)

সমীকরণ (i) থেকে আমরা পাই, 

x + 2y – z = 5

বা, 2y – z = 5 – x …..(v)

সমীকরণ (ii) থেকে আমরা পাই, 

3x + 2y + z = 11

বা, 2y + z = 11 – 3x …..(vii)

এখন সমীকরণ (iii) এ সবগুলো মান বসিয়ে পাই,

x(x+4y) + (2y+z)(2y-z) = 15

বা, x (x + 4 [4 – x]) + (5 – x) (11 – 3x) = 15

বা, x (x + 16 – 4x) + (5 – x) (11 – 3x) = 15

বা, x (16 – 3x) + (5 – x) (11 – 3x) = 15

বা, 16x – 3x² + 55 – 15x – 11x + 3x² = 15

বা, 16x – 26x + 40 = 0

বা, x= 4

তাহলে, x= 4 সমীকরণ (iv) এ বসিয়ে পাই, 

y = 4 – x

বা, y = 4 – 4

বা, y = 0

একইভাবে, সমীকরণ (i) এ x= 4 এবং y = 0 বসিয়ে পাই,

x + 2y – z = 5

বা, z = x + 2y – 5

বা, z = 4 + 2 × 0 – 5

বা, z = -1

এবার তাহলে অবশিষ্ট বীজগাণিতিক রাশিটির মান বের করে ফেলি-

x^3 + y^3 + z^3

= 4^3 + 0^3 + (-1)^3 

= 64 – 1

= 63

সুতরাং, 63 হচ্ছে আমাদের সাপ্তাহিক সমস্যা-২৭ এর উত্তর!

অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। তবে আমরা ৪ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-২৭ এ বিজয়ী চারজন!

ছবি: সাপ্তাহিক সমস্যা-২৭ এর বিজয়ী তালিকা

যারা সমস্যাটির সমাধান করার চেষ্টা করেছো, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি তোমাদের সমস্যা সমাধানের এই চেষ্টা অব্যাহত থাকবে। তোমাদের সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!

(আমাদের অন্যান্য গাণিতিক সমস্যা দেখতে এই লিঙ্কে ক্লিক করুন।)

সাপ্তাহিক সমস্যা-২৬ এর সমাধান (Problem Weekly–26 with Solution)

Sep 5, 2023 | Problem Weekly (সাপ্তাহিক সমস্যা)

Problem Weekly-26: Number-lover Souvik is thinking about the properties of different numbers, like prime or composite numbers. For example, 5 is a prime number, and 6 is a composite number. Again, 2 is the only even prime number. Another interesting fact is that all odd numbers are not prime numbers. To elaborate on this we can say, that any prime number greater than 2 must be an odd number but an odd number may or may not be a prime number! Quite interesting, isn’t it?

However, today Souvik is trying to write different even numbers as the sum of two odd numbers. For example,

18 = 9 + 9

20=13+7=11+9=5+15

14=11+3=9+5=7+7

Sauvik suddenly noticed that some even numbers cannot be written as the sum of two odd composite numbers, like 8 or 14. Souvik has become curious to find out if there exist other even numbers too. You can also think of this problem like Souvik-

“How many positive even numbers are there that cannot be expressed as the sum of two odd composite numbers?”

সমাধান: শুরুতে আমরা কয়েকটি ছোট সংখ্যা নিয়ে চিন্তা করি। যেমন : 40 পর্যন্ত যৌগিক বিজোড় পূর্ণসংখ্যা হল-

9,  5, 21, 25, 27, 33, 35, 39

এখন শর্তমতে, এই সংখ্যাগুলোর যোগফল জোড়ায় নিলে এবং যোগফলের পুনরাবৃত্তি বা 50 এর উপরে মান বাদ দিয়ে হিসেব করে আমরা পাই-

9 + 9 = 18

9 + 15 = 24

9 + 21 = 30

9 + 25 = 34

9 + 27 = 36

9 + 33 = 42

9 + 35 = 44

9 + 39 = 48

15 + 25 = 40

15 + 35 = 50

21 + 25 = 46

উপরের তালিকা থেকে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, 40 এর ছোট ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য নিম্নের 14টি জোড় সংখ্যাকে আমরা দুইটি বিজোড় যৌগিক সংখ্যার যোগফল আকারে লিখতে পারি না-

2, 4, 6, 8,10, 12, 14, 16, 20, 22, 26, 28, 32, 38

মজার ব্যাপার হলো, ৪০ এর চেয়ে বড় যেকোন জোড় সংখ্যাকে আসলে দুইটি যৌগিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল আকারে কিন্তু প্রকাশ করা যায়! কিছু উদাহরণ চিন্তা করা যাক-

40 = 15 + 25

42 = 9 + 33

44 = 9 + 35

আমরা 44 এর চেয়ে বড় যেকোন জোড় সংখ্যাকে দুইটি সংখ্যার যোগফল আকারে লিখতে পারি যার একটি হবে 6 এর গুণিতক, অপর সংখ্যা হবে 40 বা 42 বা 44 এর মধ্যে যে কোন একটি।

আরেকভাবে বলা যায়, 44 এর চেয়ে বড় যেকোন জোড় সংখ্যাকে আমরা 6 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ পাবো যথাক্রমে 0, 2, 4 এর মধ্যে যে কোন একটি। যেমন:

56 কে 6 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকবে 2

58 কে 6 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকবে 4

60 কে 6 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকবে 0

তাহলে আমরা এই সংখ্যাগুলো এভাবে লিখতে পারি- 

 56 = 44 + 12

 58 = 40 + 18

60 = 42 + 18

তাহলে আমরা 44 এর চেয়ে বড় যে কোন জোড় সংখ্যাকে এভাবে লিখতে পারি-

6k+40 বা  6k+42 বা 6k+44

এখন, এই পদগুলোকে আমরা চাইলে এভাবেও লিখতে পারি-

 6k+40 = 6k+15+25 = 3(2k+5) + 25

6k+42 = 6k+9+33 = 3(2k+3) +33

6k+44 = 6k+9+35 = 3(2k+3) +35

এখন (2k+3) বা (2k+5) সর্বদা বিজোড় সংখ্যা, তাই 3(2k+5) এবং 3(2k+3) অবশ্যই বিজোড় সংখ্যা হবে।

তাহলে আমরা প্রমাণ করতে পারলাম যে, 44 এর চেয়ে বড় যেকোন জোড় সংখ্যাকে আসলে দুইটি যৌগিক সংখ্যার যোগফল আকারে লেখা যায়!

তাহলে, মোট 14টি সংখ্যা আছে যাদেরকে দুইটি বিজোড় যৌগিক সংখ্যার যোগফল হিসেবে লিখা যায় না। এটাই আমাদের সাপ্তাহিক সমস্যা-২৬ এর উত্তর।

অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। তবে আমরা ১ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-২৬ এ বিজয়ী একজন!

ছবি: সাপ্তাহিক সমস্যা-২৬ এর বিজয়ী তালিকা

যারা সমস্যাটির সমাধান করার চেষ্টা করেছো, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি তোমাদের সমস্যা সমাধানের এই চেষ্টা অব্যাহত থাকবে। তোমাদের সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!

(আমাদের অন্যান্য গাণিতিক সমস্যা দেখতে এই লিঙ্কে ক্লিক করুন।)

সাপ্তাহিক সমস্যা-২৫ এর সমাধান (Problem Weekly–25 with Solution)

Aug 29, 2023 | Problem Weekly (সাপ্তাহিক সমস্যা)

Problem Weekly-25: Number-lover Souvik has recently learned about number series and the process of finding the sum of those series. Now, whenever he gets a chance, he writes down different numbers to see if there exists a series between them or if the sum of the series can be calculated. However, Souvik’s friend Geometric Jami likes geometry problems. He doesn’t like that much to think about numbers like Souvik. That’s why Souvik pushes Jami to solve number-related problems whenever he gets a chance. As it said, Souvik has thought of a new series problem for Jami. The problem is like this-

2, 4, 4, 1, 1, 3, 9, -1, 0, 2, 14, -3,…………
At first, the numbers seem random to Jami like HIJIBIJI HIJIBIJI but there is a pattern between these numbers. If the series does continue this way, what will be the sum of the first 111 terms? Jami is trying hard but still doesn’t know how to approach this problem. Can you help Jami to solve this problem?

সমাধান: আমরা যদি সংখ্যাগুলো দেখি, সংখ্যাগুলোর মধ্যে আপাতদৃষ্টিতে কোন সম্পর্ক পাবো না। তবে লক্ষ করলে দেখা যাবে যে, কিছু সংখ্যা আছে যেগুলো বৃদ্ধি  যেমন

 9, 14….

আবার দেখা যাচ্ছে, ৭ম পদ হলো 9 এবং ১১ তম পদ হলো 14।  একই ধারাবাহিকতায়, ৩য় পদ হলো 4। এখানে দেখা যাচ্ছে যে, 4, 9, 14 এর মধ্যে একটা প্যাটার্ন আছে।

তাহলে আমরা সংখ্যাগুলোকে এভাবে নিচের ছকে লিখি-

এখন কিন্তু খুব সহজেই আমরা অনেকগুলো সম্পর্ক পাচ্ছি । আরো সহজ করে বললে, এখানে আলাদা আলাদা চারটি প্যাটার্ন আছে যেটা এরকম-

2, 1, 0……

4, 3, 2……

4, 9, 14…..

1, -1, -3……

প্রদত্ত প্রশ্নমতে, 111 তম পদ পর্যন্ত যোগফল বের করতে হবে আমাদের। যেহেতু আমরা চার ধরণের প্যাটার্ন পেয়েছি, 111 কে 4 দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল হবে 27, ভাগশেষ থাকবে ৩। অর্থাৎ আমরা বলতে পারি, 111 টি পদের মধ্যে 27টি সংখ্যা থাকবে যারা শুধুমাত্র 1, -1, -3…. এই ধারা মেনে চলবে। বাকি তিনটি ধারার ক্ষেত্রে 28টি করে পদ থাকবে।  (এটা কীভাবে আমরা নিশ্চিত হলাম?)

এখন আলাদা করে চারটি ধারা বা প্যাটার্নের যোগফল বের করে, সবগুলো একসাথে যোগ করলেই আমরা 111টি পদের যোগফল পেয়ে যাবো।

তাহলে 111 তম পদ পর্যন্ত যোগফল হবে: (-322) + (-266) + 2002 + (-675) = 739

চাইলে আমরা অন্যভাবেও সমস্যাটির সমাধান করতে পারি। আমরা প্রথম থেকে চারটি করে সংখ্যা নিয়ে যোগ করি তাহলে ধারাটি এরকম আসবে-

11, 12, 13 …

তাহলে 11, 12, 13 … এই ধারার প্রথম 28টি পদের যোগফল বের করে তার থেকে থেকে 1, -1, -3…… এই ধারাটির 28 তম পদ বিয়োগ করলেই আমরা উত্তর পেয়ে যাবো! (এটা কি ঠিক? যাচাই করে দেখো তো!)

তাহলে, 739 সংখ্যাটি হচ্ছে আমাদের সাপ্তাহিক সমস্যা-২৫ এর উত্তর।

অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। তবে আমরা ২ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-২৫ এ বিজয়ী দুইজন!

ছবি: সাপ্তাহিক সমস্যা-২৫ এর বিজয়ী তালিকা

যারা সমস্যাটির সমাধান করার চেষ্টা করেছো, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি তোমাদের সমস্যা সমাধানের এই চেষ্টা অব্যাহত থাকবে। তোমাদের সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!

(আমাদের অন্যান্য গাণিতিক সমস্যা দেখতে এই লিঙ্কে ক্লিক করুন।)