সাপ্তাহিক সমস্যা-২৯: সংখ্যাভাবুক সৌভিক তার মামার সাথে শিশুপার্কে বেড়াতে গেছে, সাথে তার মামাতো ভাইবোনেরাও আছে। শিশুপার্কে ৫ বছরের কম বয়সী শিশুদের জন্য কোন টিকেট লাগে না এবং ১৮ বছররের কম বয়সী শিক্ষার্থীদের জন্য অর্ধেক দামে টিকেট বিক্রি করা হয়, বাকিদের জন্য পুরো দামে টিকেট বিক্রি হয়। সৌভিকের মামা টিকেট কাউন্টারে গিয়ে প্রথমে নিজের টিকেট কিনলেন, এরপর বাকিদের টিকেট নিতে তিনি অন্য একটি কাউন্টারে গেলেন। কাউন্টারের লোকটি উনাকে বাকি সবার বয়স জিজ্ঞেস করলো, পেছন থেকে সৌভিক উত্তর দিলো: আমাদের সবার বয়সের গুণফল ৩৮৪০ (সৌভিকের মামা বাদে), সবথেকে বড় যে, ছোট জনের বয়সের ৪ গুণ সে! কাউন্টারের লোকটি কতক্ষণ চিন্তা করলো, এরপর সৌভিকের মামাকে প্রয়োজনীয় টিকেট দিয়ে দিল, কোন ভুলও হয় নি! তুমি কী বলতে পারবে, পার্কে সৌভিকরা মোট কতজন ছিলো? কোন প্রকারের টিকেট তারা কয়টি করে কিনেছিলো?
Problem Weekly-29: Number-lover Sauvik is visiting a recreation park with his uncle and cousins. To enter the park, there is no ticket for children under 5 years, half-priced tickets for students under 18 years, and full-priced tickets are sold for Adults. Sauvik’s uncle bought his ticket first from the adult counter. Then he walked to another counter to buy tickets for the rest people. The checker at the counter asked him about their age, and Sauvik replied immediately like this: The product of our age is 3840 (except his uncle), and the age of the older person here is 4 times the age of the younger person! The checker has thought for a while, then provides Sauvik’s uncle with the required tickets without any mistake! Can you tell us the number of people who were with Sauvik in the park (including himself)? How many tickets of each type his uncle bought for them?
সমাধান: একটু ভালোভাবে চিন্তা করলে বুঝতে পারবে যে, সৌভিক ও তার মামাতো ভাইবোনদের বয়সের গুণফল ৩৮৪০ কে যদি মৌলিক উৎপাদকে (Prime Factorization) বিশ্লেষণ করা যায়, তাহলেই সবার বয়স বের করা সম্ভব! তাহলে, ৩৮৪০ সংখ্যাটিকে আমরা নিচের মতো করে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে পারি:
৩৮৪০ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫ = ২^৮ × ৩ × ৫
প্রশ্নমতে, সৌভিকদের মধ্যে সবচেয়ে বড় ব্যক্তিটি সবচেয়ে ছোট ব্যক্তির বয়সের ৪ গুণ। তাহলে ৩৮৪০ সংখ্যাটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ আমরা আরেকবার খেয়াল করি,
৩৮৪০ =২^৮ × ৩ × ৫ = ২^৬ × ২^২ × ৩ × ৫ = ২^৪ × ২^২ × ২^২ × ৩ × ৫
এখন খেয়াল করো, শর্তমতে যদি সবচেয়ে ছোট মানুষটির বয়স ১ বছর হয়, তবে সবচাইতে বড় মানুষটির বয়স হওয়ার কথা ৪ বছর। কিন্তু আমরা উৎপাদকগুলো লক্ষ্য করলে দেখতে পাচ্ছি, সর্বোচ্চ মৌলিক উৎপাদক হচ্ছে ৫। সুতরাং সৌভিক এবং তার মামাতো ভাইবোনদের মধ্যে কারো বয়সই এক বছর হওয়া সম্ভব না! যদি কারো বয়স ২ বছর হয়, সর্বোচ্চ বয়সের ব্যক্তি হতে হবে ৮ বছরের। সেক্ষেত্রে আমরা লিখতে পারি,
৩৮৪০ = ২ × ২^২ × ২^২ × ২^৩ × ৩ × ৫ = ২ × ৪ × ৪ × ৮ × ৩ × ৫ (এ গুণফলকে চাইলে এভাবেও লিখা যায়: ২ × ২ × ৪ × ৮ × ৬ × ৫)
এখান থেকে দেখা যাচ্ছে যে, সৌভিক ও তার মামাতো ভাইবোন মিলে পার্কে মোট ৬ জন ছিলো। এদের বয়স যথাক্রমে ২ বছর, ৩ বছর, ৪ বছর, ৪ বছর, ৫ বছর এবং ৮ বছর। এখান থেকে ৪ জনই ফ্রি টিকেটে পার্কে ঢুকতে পারতো, দুইজনের জন্য অর্ধেক দামে টিকেট কেনা লাগতো।
প্রশ্ন হচ্ছে, এটাই কী একমাত্র উত্তর? নাকি ভিন্ন উত্তরও সম্ভব? লিখার বাকি অংশ পড়ার আগে একটু ভেবে দেখো তো!
খেয়াল করো, সবচেয়ে ছোট ব্যক্তির বয়স যদি ৩ বছর হয়, তবে সবচাইতে বড় যে তার বয়স হতে হবে ১২ বছর যা অসম্ভব! কারণ আমরা উৎপাদকে বিশ্লেষণ থেকে দেখতে পাচ্ছি, ৩ সংখ্যাটি উৎপাদক হিসেবে আছে মাত্র ১ বার, ৩ এর চারগুণ বা ১২ পেতে হলে অন্তত আরো একটি ৩ এর প্রয়োজন হবে।
কিন্তু সবচেয়ে ছোট মানুষটির বয়স যদি ৪ বছর হয় তবে সবচেয়ে বড় মানুষটির বয়স হতে হবে ১৬ বছর, যা ৩৮৪০ এর মৌলিক উৎপাদক সমূহকে নতুন করে সাজালে সম্ভব হয়! আমরা হিসেব করে পাই,
৩৮৪০ = ২^৪ × ২^২ × ২^২ × ৩ × ৫ = ৪ × ৪ × ১৫ × ১৬ = ৪ × ৫ × ১২ × ১৬ = ৪ × ৬ × ১০ × ১৬
উপরে আমরা কয়েকটি ভিন্ন উপায়ে উৎপাদকগুলোর গুণফলকে প্রকাশ করেছি। সকল ক্ষেত্রেই সৌভিক ও তার মামাতো ভাইবোনদের সংখ্যা হয় ৪ জন কিন্তু টিকেটের ক্ষেত্রে হিসেব ভিন্ন ভিন্ন হয়। অর্থাৎ কখনো অর্ধেক দামের ২টি টিকেট কিনতে হবে, কখনো ৩টি কিনতে হবে ইত্যাদি। তোমরা চাইলে আরো কোন উত্তর হওয়া সম্ভব কি না সেটা ভেবে দেখতে পারো। পাশাপাশি, সবচেয়ে কম কিংবা সবচেয়ে বেশি কয়টি টিকেট কিনে পার্কে প্রবেশ করা যাবে সেটাও হিসেব করতে পারো।
অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। তবে কার সঠিক উত্তর আমরা পাই নি, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-২৯ এ কাউকে বিজয়ী ঘোষণা করা গেল না!
যারা সমস্যাটির সমাধান করার চেষ্টা করেছো, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি তোমাদের সমস্যা সমাধানের এই চেষ্টা অব্যাহত থাকবে। তোমাদের সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!
সাপ্তাহিক সমস্যা-২৮: সংখ্যাভাবুক সৌভিক বরাবরের মত আজকেও সংখ্যা নিয়ে ভাবছে। সে নিজের খাতায় একটি তিন-অংকের সংখ্যা “A” লিখলো। আবার সে খেয়াল করলো যে, সংখ্যাটির অংকগুলো উল্টিয়ে লিখলে আরেকটি নতুন তিন অংকের সংখ্যা “B” পাওয়া যায়। সৌভিক হিসেব করে দেখলো, এ দুইটি তিন অংকের সংখ্যা যোগ করলে যোগফল 1656 হয়। আচ্ছা, সৌভিক প্রথমে কোন সংখ্যাটি লিখেছিলো সেটা কী তুমি বলতে পারবে?
Problem Weekly-28: Number-lover Souvik is thinking about numbers as always. He has written a random three-digit number “A” in his notebook. Again, he has noticed that if the digits of the number “A” are reversed, a three-digit number “B” is obtained. Then Sauvik adds these two three-digit numbers and has got the sum to be 1656. Can you tell us which number Souvik wrote at first?
সমাধান: যেহেতু A একটি তিন অংকের সংখ্যা তাই আমরা লিখতে পারি-
A = 100a + 10b + c
[এখানে a, c এর মান 0 হবে না, এদের মান 9 এর সমান বা তার থেকে ছোট হবে, এবং 0 <= b <= 9 হবে]
যেমন 714 কে আমরা এভাবে লিখতে পারি-
714 = 7 × 100 + 1 × 10 + 4
যেহেতু A সংখ্যাটির অঙ্কগুলো উল্টিয়ে লিখলে একটি তিন অঙ্কের সংখ্যা B পাওয়া যায়, তাই আমরা লিখতে পারি-
B = 100c + 10b + a
প্রশ্নমতে,
A + B = 1656
বা, 100a + 10b + c + 100c + 10b + a = 1656
বা, 101a + 20b + 101c = 1656
বা, 20b = 1656 – 101(a+c)
বা, b = [1656 – 101 (a+c)] / 20
যেহেতু b একটি পূর্ণসংখ্যা, তার মানে ডানপাশের ভগ্নাংশের লবকে অবশ্যই 20 দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে বা লবের সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক 1 হতে হবে। (এটা কেন নিশ্চিত করে বলতে পারলাম? চিন্তা করে দেখো তো!)
তাহলে, (a+c) এর মান 6 বা 16 হতে হবে।
কিন্তু (a+c) এর মান 6 হলে b এর মান 9 এর চেয়ে বড় হয়ে যায় যেটা প্রদত্ত তথ্য অনুসারে সম্ভব না। (কারণ b এর মান 5 হতে পারবে।)
তাহলে বলা যায়,
(a+c) = 16
এবং b এর মান হবে-
b= [1656 – (101 × 16)] / 20
যেহেতু (a+c) = 16, তাহলে a এবং c এর সম্ভাব্য মান হবে-
(a, c) = (9, 7) , (8, 8), (7, 9)
তাহলে সৌভিক শুরুতে যে সংখ্যাটি লিখেছিল তার সম্ভাব্য মান হতে পারে, 927 বা 828 বা 729।
সুতরাং, উপরের তিনটি সংখ্যাইহচ্ছে আমাদের সাপ্তাহিক সমস্যা-২৮ এর উত্তর!
অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। তবে আমরা ৩ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-২৮ এ বিজয়ী তিনজন!
ছবি: সাপ্তাহিক সমস্যা-২৮ এর বিজয়ী তালিকা
যারা সমস্যাটির সমাধান করার চেষ্টা করেছো, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি তোমাদের সমস্যা সমাধানের এই চেষ্টা অব্যাহত থাকবে। তোমাদের সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!
সাপ্তাহিক সমস্যা-২৭: সংখ্যাভাবুক সৌভিক সম্প্রতি বীজগণিতের বিভিন্ন সূত্র, নানান রকমের সমীকরণ, এবং সেগুলো কিভাবে সমাধান করা যায় সে সম্পর্কে জানতে পেরেছে। এখন সে অবসর সময়ে বীজগণিতের বিভিন্ন সমীকরণ সমাধান করার চেষ্টা করে। সৌভিকের বন্ধু জ্যামিতিক জামি সৌভিককে একটি তিন চলকের সমীকরণ সমাধান করতে দিলো। সমস্যাটি এরকম:
x + 2y – z = 5
3x + 2y + z = 11
x(x+4y) + (2y+z)(2y-z) = 15
x^3 + y^3 + z^3 = ? (এখানে x, y এবং z তিনটি পূর্ণসংখ্যা)
সৌভিক অনেকক্ষণ ধরে এটা সমাধান করার চেষ্টা করলো। সৌভিক সমীকরণ সমাধানের জন্য যা যা শিখেছিলো, যেমন- অপনয়ন পদ্ধতি বা প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ,সেগুলো প্রয়োগ করে সমাধান করার চেষ্টা করলো। তোমরা কি কোনভাবে সৌভিককে সাহায্য করতে পারবে?
Problem Weekly-27: Number-lover Souvik has recently learned about algebra formulas, different types of equations, and how to solve those things. Now, he tries to solve various problems related to equations in his leisure time. Souvik’s friend Geometric Jami asked Souvik to solve a three-variable equation. The problem is like this –
x + 2y – z = 5
3x + 2y + z = 11
x(x+4y) + (2y+z)(2y-z) = 15
x^3 + y^3 + z^3 = ? (Here, x, y, and z are three integers.)
Sauvik has tried for a long time to solve this problem. He has applied the concepts that he learned previously such as the elimination or substitution method of solving equations. Can you help Souvik to solve this problem?
সমাধান: প্রদত্ত তিনটি সমীরকণ এরকম-
x + 2y – z = 5 …..(i)
3x + 2y + z = 11 …..(ii)
x(x+4y) + (2y+z)(2y-z) = 15 …..(iii)
এবার সমীকরণ (i) এবং সমীকরণ (ii) যোগ করে পাই,
x + 2y – z + 3x + 2y + z = 11 + 5
বা, 4x + 4y = 16
বা, x + y = 4
বা, y = 4 – x …..(iv)
সমীকরণ (i) থেকে আমরা পাই,
x + 2y – z = 5
বা, 2y – z = 5 – x …..(v)
সমীকরণ (ii) থেকে আমরা পাই,
3x + 2y + z = 11
বা, 2y + z = 11 – 3x …..(vii)
এখন সমীকরণ (iii) এ সবগুলো মান বসিয়ে পাই,
x(x+4y) + (2y+z)(2y-z) = 15
বা, x (x + 4 [4 – x]) + (5 – x) (11 – 3x) = 15
বা, x (x + 16 – 4x) +(5 – x) (11 – 3x) = 15
বা, x (16 – 3x) +(5 – x) (11 – 3x) = 15
বা, 16x – 3x2 + 55 – 15x – 11x + 3x2 = 15
বা, 16x – 26x + 40 = 0
বা, x= 4
তাহলে, x= 4 সমীকরণ (iv) এ বসিয়ে পাই,
y = 4 – x
বা, y = 4 – 4
বা, y = 0
একইভাবে, সমীকরণ (i) এ x= 4 এবং y = 0 বসিয়ে পাই,
x + 2y – z = 5
বা, z = x + 2y – 5
বা, z = 4 + 2 × 0 – 5
বা, z = -1
এবার তাহলে অবশিষ্ট বীজগাণিতিক রাশিটির মান বের করে ফেলি-
x^3 + y^3 + z^3
= 4^3 + 0^3 + (-1)^3
= 64 – 1
= 63
সুতরাং, 63 হচ্ছে আমাদের সাপ্তাহিক সমস্যা-২৭ এর উত্তর!
অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। তবে আমরা ৪ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-২৭ এ বিজয়ী চারজন!
ছবি: সাপ্তাহিক সমস্যা-২৭ এর বিজয়ী তালিকা
যারা সমস্যাটির সমাধান করার চেষ্টা করেছো, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি তোমাদের সমস্যা সমাধানের এই চেষ্টা অব্যাহত থাকবে। তোমাদের সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!
সাপ্তাহিক সমস্যা-২৬: সংখ্যাভাবুক সৌভিক বিভিন্ন সংখ্যার বৈশিষ্ট্য নিয়ে ভাবছে, যেমন মৌলিক সংখ্যা কী বা যৌগিক সংখ্যা কোনগুলো এসব। উদাহরণ হিসেবে বলা যায়- ৫ একটি মৌলিক সংখ্যা, ৬ হলো যৌগিক সংখ্যা। আবার, ২ হলো একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা! আরেকটা মজার বিষয় হলো, সকল বিজোড় সংখ্যা কিন্তু মৌলিক সংখ্যা না। অর্থাৎ ২ এর চেয়ে বড় যেকোন মৌলিক সংখ্যা বিজোড় হবেই, তবে বিজোড় হলেই সেটি মৌলিক হবে এরকম সবসময় সত্যি না। ব্যাপারটা বেশ মজার তাই না!
আজকে সকালে সৌভিক বিভিন্ন জোড় সংখ্যাকে দুইটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল হিসেবে লেখার চেষ্টা করছে। যেমন:
১৮ = ৯+৯
২০ = ১৩+৭ = ১১+৯ = ৫+১৫
১৪ = ১১+৩ = ৯+৫ = ৭+৭
সৌভিক হঠাৎ করে একটা ব্যাপার খেয়াল করলো- কিছু কিছু জোড় সংখ্যা আছে যাদেরকে দুইটি বিজোড় যৌগিক সংখ্যার যোগফল হিসেবে লেখা যায় না! যেমন: ৮ কিংবা ১৪। সৌভিক উৎসাহী হয়ে এরূপ কতগুলো জোড় সংখ্যা আছে, সেগুলো খুঁজে বের করা শুরু করলো। তোমরাও চাইলে সৌভিকের সাথে সাথে এই সমস্যাটি নিয়ে ভাবতে পারো-
“ এমন কতগুলো ধনাত্মক জোড় সংখ্যা আছে, যাদেরকে দুইটি বিজোড় যৌগিক সংখ্যার যোগফল আকারে প্রকাশ করা যায় না?”
Problem Weekly-26: Number-lover Souvik is thinking about the properties of different numbers, like prime or composite numbers. For example, 5 is a prime number, and 6 is a composite number. Again, 2 is the only even prime number. Another interesting fact is that all odd numbers are not prime numbers. To elaborate on this we can say, that any prime number greater than 2 must be an odd number but an odd number may or may not be a prime number! Quite interesting, isn’t it?
However, today Souvik is trying to write different even numbers as the sum of two odd numbers. For example,
18 = 9 + 9
20=13+7=11+9=5+15
14=11+3=9+5=7+7
Sauvik suddenly noticed that some even numbers cannot be written as the sum of two odd composite numbers, like 8 or 14. Souvik has become curious to find out if there exist other even numbers too. You can also think of this problem like Souvik-
“How many positive even numbers are there that cannot be expressed as the sum of two odd composite numbers?”
সমাধান: শুরুতে আমরা কয়েকটি ছোট সংখ্যা নিয়ে চিন্তা করি। যেমন : 40 পর্যন্ত যৌগিক বিজোড় পূর্ণসংখ্যা হল-
9, 5, 21, 25, 27, 33, 35, 39
এখন শর্তমতে, এই সংখ্যাগুলোর যোগফল জোড়ায় নিলে এবং যোগফলের পুনরাবৃত্তি বা 50 এর উপরে মান বাদ দিয়ে হিসেব করে আমরা পাই-
9 + 9 = 18
9 + 15 = 24
9 + 21 = 30
9 + 25 = 34
9 + 27 = 36
9 + 33 = 42
9 + 35 = 44
9 + 39 = 48
15 + 25 = 40
15 + 35 = 50
21 + 25 = 46
উপরের তালিকা থেকে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, 40 এর ছোট ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য নিম্নের 14টি জোড় সংখ্যাকে আমরা দুইটি বিজোড় যৌগিক সংখ্যার যোগফল আকারে লিখতে পারি না-
2, 4, 6, 8,10, 12, 14, 16, 20, 22, 26, 28, 32, 38
মজার ব্যাপার হলো, ৪০ এর চেয়ে বড় যেকোন জোড় সংখ্যাকে আসলে দুইটি যৌগিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল আকারে কিন্তু প্রকাশ করা যায়! কিছু উদাহরণ চিন্তা করা যাক-
40 = 15 + 25
42 = 9 + 33
44 = 9 + 35
আমরা 44 এর চেয়ে বড় যেকোন জোড় সংখ্যাকে দুইটি সংখ্যার যোগফল আকারে লিখতে পারি যার একটি হবে 6 এর গুণিতক, অপর সংখ্যা হবে 40 বা 42 বা 44 এর মধ্যে যে কোন একটি।
আরেকভাবে বলা যায়, 44 এর চেয়ে বড় যেকোন জোড় সংখ্যাকে আমরা 6 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ পাবো যথাক্রমে 0, 2, 4 এর মধ্যে যে কোন একটি। যেমন:
56 কে 6 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকবে 2
58 কে 6 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকবে 4
60 কে 6 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকবে 0
তাহলে আমরা এই সংখ্যাগুলো এভাবে লিখতে পারি-
56 = 44 + 12
58 = 40 + 18
60 = 42 + 18
তাহলে আমরা 44 এর চেয়ে বড় যে কোন জোড় সংখ্যাকে এভাবে লিখতে পারি-
6k+40 বা 6k+42 বা 6k+44
এখন, এই পদগুলোকে আমরা চাইলে এভাবেও লিখতে পারি-
6k+40 = 6k+15+25 = 3(2k+5) + 25
6k+42 = 6k+9+33 = 3(2k+3) +33
6k+44 = 6k+9+35 = 3(2k+3) +35
এখন (2k+3) বা (2k+5) সর্বদা বিজোড় সংখ্যা, তাই 3(2k+5) এবং 3(2k+3) অবশ্যই বিজোড় সংখ্যা হবে।
তাহলে আমরা প্রমাণ করতে পারলাম যে, 44 এর চেয়ে বড় যেকোন জোড় সংখ্যাকে আসলে দুইটি যৌগিক সংখ্যার যোগফল আকারে লেখা যায়!
তাহলে, মোট 14টিসংখ্যা আছে যাদেরকে দুইটি বিজোড় যৌগিক সংখ্যার যোগফল হিসেবে লিখা যায় না। এটাই আমাদের সাপ্তাহিক সমস্যা-২৬ এর উত্তর।
অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। তবে আমরা ১ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-২৬ এ বিজয়ী একজন!
ছবি: সাপ্তাহিক সমস্যা-২৬ এর বিজয়ী তালিকা
যারা সমস্যাটির সমাধান করার চেষ্টা করেছো, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি তোমাদের সমস্যা সমাধানের এই চেষ্টা অব্যাহত থাকবে। তোমাদের সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!
সাপ্তাহিক সমস্যা-২৫: সংখ্যাভাবুক সৌভিক সংখ্যার ধারা এবং সেটির যোগফল নির্ণয় করার পদ্ধতি সম্পর্কে খুব সম্প্রতি জেনেছে। তারপর থেকে সে সুযোগ পেলেই বিভিন্ন সংখ্যা লিখে তাদের মধ্যে কোনো ধারা পাওয়া যায় কি না, কিংবা ধারার যোগফল বের করা যায় কিনা সেটি নিয়ে ভাবতে থাকে। সৌভিকের বন্ধু জ্যামিতিক জামি আবার জ্যামিতির সমস্যা অনেক পছন্দ করে। জামির সংখ্যা নিয়ে চিন্তা করতে খুব একটা ভালো লাগে না। এজন্য সৌভিক সুযোগ পেলেই জামিকে সংখ্যা সংক্রান্ত সমস্যা সমাধান করতে দেয়। সৌভিক জামির জন্য ধারার একটি নতুন সমস্যা মনে মনে চিন্তা করলো। সমস্যাটি এরকম-
2, 4, 4, 1, 1, 3, 9, -1, 0, 2, 14, -3,…………
এভাবে এই ধারার জন্য কয়েকটি সংখ্যা লেখা হলো। প্রথমে সংখ্যাগুলো জামির কাছে হিজিবিজি হিজিবিজি মনে হলেও সংখ্যাগুলোর মধ্যে কিন্তু একটা নির্দিষ্ট প্যাটার্ন আছে। যদি ধারাটি এভাবে চলতে থাকে, তবে প্রথম ১১১ টি সংখ্যার যোগফল কত হবে? জামি এই সমস্যাটি নিয়ে অনেক চিন্তা করেও কোন সমাধানে আসতে পারছে না। তুমি কি জামিকে সাহায্য করতে পারবে?
Problem Weekly-25: Number-lover Souvik has recently learned about number series and the process of finding the sum of those series. Now, whenever he gets a chance, he writes down different numbers to see if there exists a series between them or if the sum of the series can be calculated. However, Souvik’s friend Geometric Jami likes geometry problems. He doesn’t like that much to think about numbers like Souvik. That’s why Souvik pushes Jami to solve number-related problems whenever he gets a chance. As it said, Souvik has thought of a new series problem for Jami. The problem is like this-
2, 4, 4, 1, 1, 3, 9, -1, 0, 2, 14, -3,………… At first, the numbers seem random to Jami like HIJIBIJI HIJIBIJI but there is a pattern between these numbers. If the series does continue this way, what will be the sum of the first 111 terms? Jami is trying hard but still doesn’t know how to approach this problem. Can you help Jami to solve this problem?
সমাধান: আমরা যদি সংখ্যাগুলো দেখি, সংখ্যাগুলোর মধ্যে আপাতদৃষ্টিতে কোন সম্পর্ক পাবো না। তবে লক্ষ করলে দেখা যাবে যে, কিছু সংখ্যা আছে যেগুলো বৃদ্ধি যেমন
9, 14….
আবার দেখা যাচ্ছে, ৭ম পদ হলো 9 এবং ১১ তম পদ হলো 14। একই ধারাবাহিকতায়, ৩য় পদ হলো 4। এখানে দেখা যাচ্ছে যে, 4, 9, 14 এর মধ্যে একটা প্যাটার্ন আছে।
তাহলে আমরা সংখ্যাগুলোকে এভাবে নিচের ছকে লিখি-
2
4
4
1
1
3
9
-1
0
2
14
-3
এখন কিন্তু খুব সহজেই আমরা অনেকগুলো সম্পর্ক পাচ্ছি । আরো সহজ করে বললে, এখানে আলাদা আলাদা চারটি প্যাটার্ন আছে যেটা এরকম-
2, 1, 0……
4, 3, 2……
4, 9, 14…..
1, -1, -3……
প্রদত্ত প্রশ্নমতে, 111 তম পদ পর্যন্ত যোগফল বের করতে হবে আমাদের। যেহেতু আমরা চার ধরণের প্যাটার্ন পেয়েছি, 111 কে 4 দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল হবে 27, ভাগশেষ থাকবে ৩। অর্থাৎ আমরা বলতে পারি, 111 টি পদের মধ্যে 27টি সংখ্যা থাকবে যারা শুধুমাত্র 1, -1, -3…. এই ধারা মেনে চলবে। বাকি তিনটি ধারার ক্ষেত্রে 28টি করে পদ থাকবে। (এটা কীভাবে আমরা নিশ্চিত হলাম?)
এখন আলাদা করে চারটি ধারা বা প্যাটার্নের যোগফল বের করে, সবগুলো একসাথে যোগ করলেই আমরা 111টি পদের যোগফল পেয়ে যাবো।
১ম ধারার ক্ষেত্রে
২য় ধারার ক্ষেত্রে
৩য় ধারার ক্ষেত্রে
৪র্থ ধারার ক্ষেত্রে
প্রথম পদ = 2
প্রথম পদ = 4
প্রথম পদ = 4
প্রথম পদ = 1
পদ সংখ্যা = 28
পদ সংখ্যা = 28
পদ সংখ্যা = 28
পদ সংখ্যা = 27
সাধারণ অন্তর = -1
সাধারণ অন্তর = -1
সাধারণ অন্তর = 5
সাধারণ অন্তর = -2
28টি পদের যোগফল = 14(4-27)= -322
28টি পদের যোগফল = 14(8-27)=-266
28টি পদের যোগফল = 14(8+27*5) = 2002
27টি পদের যোগফল = 13.5(2-52) = -675
তাহলে 111 তম পদ পর্যন্ত যোগফল হবে: (-322)+ (-266) + 2002 + (-675) = 739
চাইলে আমরা অন্যভাবেও সমস্যাটির সমাধান করতে পারি। আমরা প্রথম থেকে চারটি করে সংখ্যা নিয়ে যোগ করি তাহলে ধারাটি এরকম আসবে-
11, 12, 13 …
তাহলে 11, 12, 13 … এই ধারার প্রথম 28টি পদের যোগফল বের করে তার থেকে থেকে 1, -1, -3…… এই ধারাটির 28 তম পদ বিয়োগ করলেই আমরা উত্তর পেয়ে যাবো! (এটা কি ঠিক? যাচাই করে দেখো তো!)
তাহলে, 739 সংখ্যাটি হচ্ছে আমাদের সাপ্তাহিক সমস্যা-২৫ এর উত্তর।
অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। তবে আমরা ২ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-২৫ এ বিজয়ী দুইজন!
ছবি: সাপ্তাহিক সমস্যা-২৫ এর বিজয়ী তালিকা
যারা সমস্যাটির সমাধান করার চেষ্টা করেছো, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি তোমাদের সমস্যা সমাধানের এই চেষ্টা অব্যাহত থাকবে। তোমাদের সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!
সাপ্তাহিক সমস্যা-২৪: সংখ্যাভাবুক সৌভিক নতুন একটা খেলনা কিনেছে, যেখানে অনেকগুলো ব্লক একসাথে পাশাপাশি রয়েছে। ব্লকের একপাশে নম্বর এবং আরেকপাশে ইংরেজী বর্ণ লেখা। সৌভিক খেলতে খেলতে মজার একটা বিষয় লক্ষ করলো। মজার বিষয়টি হলো- পাশাপাশি যে সংখ্যাগুলো লেখা আছে, তাদের মধ্যে যেকোন দিক থেকে পরপর তিনটি সংখ্যা নিলে দেখা যায় যে, সংখ্যা তিনটির যোগফল হয় ১৯। সৌভিক এবার এই খেলনা নিয়ে একটি গাণিতিক সমস্যার কথা ভাবতে লাগলো। সে কিছু ব্লক এমনভাবে রাখলো যেন ইংরেজী বর্ণ দেখা যায়, আর বাকি ব্লকগুলো এমনভাবে রাখলো যেন কেবলমাত্র সংখ্যাটি দেখা যায়। এই পরিবর্তনের পর খেলনাটি দেখতে উপরের ছবির মত হয়েছে। তাহলে উপরের ছবি থেকে তোমরা কি বলতে পারবে, S ব্লকের বিপরীতে কোন সংখ্যাটি রয়েছে?
Problem Weekly-24:Number-lover Sauvik has bought a new toy that is made of many blocks side by side. Each block is like this- number on one side of the league and, alphabet on the other side. Sauvik noticed something interesting while playing with the toy. The interesting thing is that among the numbers written side by side; if anyone takes three numbers side by side from any direction or three consecutive numbers, the sum of the three numbers becomes 19. Sauvik now started thinking about a problem with this toy. He has placed some blocks in such a way that the alphabets are visible. And the rest of the blocks are placed so that only the number is visible. After this change, the toy looks like the picture given above. So can you tell which number is opposite to block S from the given picture?
সমাধান: যেহেতু পাশাপাশি তিনটি ব্লকের সংখ্যার যোগফল 19, তাহলে আমরা প্রথম দিক থেকে তিনটা করে ব্লক নিলে তাদের যোগফল হবে 19। এখান থেকে আমরা বলতে পারি-
4+P+Q=19
P+Q+R=19
Q+R+S=19
R+S+T=19
S+T+U=19
T+U+V=19
U+V+8=19
V+8+W=19
এখানে মোট ৮টি সমীকরণ পাওয়া গেছে। যেহেতু সবগুলোই সমান, কাজেই আমর লিখতে পারি-
4+P+Q = P+Q+R
অর্থাৎ, নিশ্চিতভাবে বলা যাচ্ছে R=4 হবে।
একইভাবে আমরা লিখতে পারি,
U= W = 4
কারণ, R+S+T = S+T+U
এবং U+V+8 = V+8+W
আবার,
T+U+V = U+V+8
অর্থাৎ, T = 8
এবার, S এর মান খুব সহজেই আমরা বের করে ফেলতে পারবো। প্রদত্ত সমীকরণ থেকে লিখা যায়-
R+S+T = 19
যেহেতু R=4 এবং T=8 তাহলে,
4+S+8 = 19
বা, S = 7
তাহলে S ব্লকের বিপরীতে 7 সংখ্যাটি থাকবে। এটাই আমাদের এই সপ্তাহের গাণিতিক সমস্যার উত্তর।
অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। তবে আমরা ৩ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-২৪ এ বিজয়ী তিনজন!
ছবি: সাপ্তাহিক সমস্যা-২৪ এর বিজয়ী তালিকা
যারা সমস্যাটির সমাধান করার চেষ্টা করেছো, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি তোমাদের সমস্যা সমাধানের এই চেষ্টা অব্যাহত থাকবে। তোমাদের সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!
সাপ্তাহিক সমস্যা-২৩: জ্যামিতিক জামি নিজের ইচ্ছেমতো খাতায় বিভিন্ন জ্যামিতিক ছবি আঁকছে। প্রথমে সে একটা বিন্দু আঁকলো, এরপর রেখাংশ, এর পর ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ, পঞ্চভূজ, এভাবে করে সে বিভিন্ন বহুভূজ আঁকতে লাগলো। এর পাশাপাশি সে জ্যামিতিক চিত্রগুলোর শীর্ষবিন্দুকে ১, ২, ৩, ৪….. এভাবে ক্রমানুসারে নম্বর দিয়ে চিহ্নিত করতে লাগলো। এখন প্রশ্ন হলো, জামি যে জ্যামিতিক ছবির শীর্ষবিন্দুতে ২০২৩ সংখ্যাটি লিখবে, সেখানে কয়টি বাহু থাকবে? সমাধান নিয়ে চিন্তা করা শুরু করো তাহলে!
Problem Weekly-23: Geometric Jami is drawing various geometric figures as he likes in his notebook. First, he drew a point, then a line segment, then a triangle, quadrilateral, pentagon, and so on, he started drawing different polygons. Besides this, he began to mark the vertices of geometric figures with serial numbers 1, 2, 3, 4…… Now, how many sides will there be in the geometric figure that Jami will write the number 2023? Let’s start thinking about the solution!
সমাধান: আমরা যদি শীর্ষবিন্দুগুলো গণনা শুরু করি, তাহলে দেখতে পাবো যে শীর্ষবিন্দুগুলোর সংখ্যাগুলো হবে-
1+2+3+4+5+6………
আমরা নিচের ছকে একটু হিসেব করে দেখি কোন জ্যামিতিক চিত্রে বিন্দুর সংখ্যা কয়টি হবে-
জ্যামিতিক চিত্রের নাম
বিন্দুর সংখ্যা
মোট বিন্দুর সংখ্যা
বিন্দু (Point)
1
1
রেখাংশ (Line Segment)
2
3
ত্রিভুজ (Triangle)
3
6
চতুর্ভুজ (Quadrilateral)
4
10
৫ বাহু বিশিষ্ট বহুভূজ (Pentagon)
5
15
৬ বাহু বিশিষ্ট বহুভূজ (Hexagon)
6
21
৭ বাহু বিশিষ্ট বহুভূজ (Heptagon)
7
28
একটু চিন্তা করলে বুঝতে পারবে, এখানে মোট বিন্দুর সংখ্যা মূলত 1 থেকে শুরু করে প্রথম n সংখ্যক ধনাত্মক সংখ্যার যোগফল। আমরা গাউসের সূত্র বা সমান্তর ধারার সূত্র থেকে জানি যে-
প্রথম n সংখ্যক ধনাত্মক সংখ্যার যোগফল হবে- [n(n+1)/2]
নিচের ছকে তাহলে একটু হিসেব করে দেখি n এর বিভিন্ন মানের জন্য বিন্দুর সংখ্যা কেমন হবে-
n এর মান
মোট বিন্দুর সংখ্যা
40
820
50
1275
60
1830
70
2485
65
2145
63
2016
64
2080
খেয়াল করে দেখো, n এর মান 63 হলে মোট বিন্দুর সংখ্যা আমরা পাচ্ছি 2016, n এর মান 64 হলে আমরা পাচ্ছি 2080।
সুতরাং, 64 বাহু বিশিষ্ট বহুভূজের শীর্ষবিন্দুতে 2023 লিখা থাকবে। এটাই আমাদের এই সপ্তাহের গাণিতিক সমস্যার উত্তর!
আমরা এই সমস্যাটির একটি বিকল্প সমাধানও চিন্তা করতে পারি। অসমতা ব্যবহার করলে সমস্যটির সমাধান এরকম হবে-
n এর সর্বনিম্ন মান তাহলে 64 হবে। অর্থাৎ, 64 বাহু বিশিষ্ট বহুভূজের শীর্ষবিন্দুতে 2023 লিখা থাকবে।
অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। তবে আমরা ২ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-২৩ এ বিজয়ী দুইজন!
ছবি: সাপ্তাহিক সমস্যা-২৩ এর বিজয়ী তালিকা
যারা সমস্যাটির সমাধান করার চেষ্টা করেছো, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি তোমাদের সমস্যা সমাধানের এই চেষ্টা অব্যাহত থাকবে। তোমাদের সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!
সাপ্তাহিক সমস্যা-২২: জ্যামিতিক জামি গণিতের একটি সমস্যা নিয়ে চিন্তা করছে। এজন্য সে তার খাতায় একটি চতুর্ভুজ এবং দুইটি ত্রিভুজ এঁকেছে। জামির ছবি আঁকা দেখে সংখ্যাপ্রেমী সৌভিকের মাথায় একটি নতুন গাণিতিক সমস্যা আসলো। সেটা কিছুটা এরকম-
সৌভিক উপরেরর জ্যামিতিক চিত্রটির শীর্ষবিন্দুগুলোতে বৃত্ত এঁকে এর মধ্যে ১ থেকে ৫, এই পাঁচটি অঙ্ক একবার করে লিখেছে। এবং প্রতিটি অংশে সে একটি সংখ্যা লিখেছে যা ঐ অংশের শীর্ষবিন্দুতে থাকা সংখ্যাগুলোর যোগফলকে নির্দেশ করে থাকে। যেমন: bcde চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে, চারটি শীর্ষবিন্দুতে থাকা সংখ্যার যোগফল ১১ মাঝখানের অংশে লিখা হয়েছে, অন্য জ্যামিতিক আকৃতির জন্যও একই কথা প্রযোজ্য। সৌভিক এবার বৃত্তের ভিতরের সংখ্যাগুলো মুছে দিয়ে মাঝের বৃত্তে কোন সংখ্যা ছিলো (অর্থাৎ e বৃত্তে) সেটা জামিকে বের করতে বললো।
জামি সৌভিকের সমস্যাটি নিয়ে চিন্তা করা শুর করলো। তোমরাও এই সমস্যাটির সমাধান কিভাবে করা যায় সেটা নিয়ে চিন্তা করা শুরু করো!
Problem Weekly-22: Geometric Jami is thinking about a math problem. Therefore, he draws a quadrilateral and two triangles in his notebook. Seeing Jami’s notebook, number-lover Souvik has thought of a geometry-related number problem. The problem is somewhat like this-
Souvik has written five numbers from 1 to 5 once in a circle at the vertices of the above geometric figures, the vertices are denoted as a, b, c, d, and e. And in each segment, he writes a number that determines the sum of the vertices of that segment. For example, the number 11 denotes the sum of the vertices of bcde quadrilateral, this is the same for other shapes as well. Sauvik now erases the numbers inside those circles and asks Jami to find out which number was in the middle circle i.e. in the circlee.
Jami started thinking about the problem. You also start thinking about how to solve this problem.
সমাধান: প্রদত্ত সমস্যা অনুসারে আমরা কয়েকটি সমীকরণ গঠন করতে পারি-
যেহেতু a, b, c, d, eএই পাঁচটি রাশির মান 1 থেকে 5 এর মধ্যে হবে, আমরা তাহলে লিখতে পারি-
a+b+c+d+e = 1+2+3+4+5 = 15 …….(iv)
এখন সমীকরণ (iii) থেকে আমরা পাই-
b+c+d+e = 11
বা, a+b+c+d+e = 11+a [উভয়পক্ষে a যোগ করি]
বা, 15 = 11+a [সমীকরণ (iv) থেকে পাই]
বা, a = 4
প্রদত্ত a এর মান আমরা অন্যান্য সমীকরণে বসিয়ে পাই-
b+e = 5 ……..(v) e+d = 8 ……..(vi)
এখন যেহেতু a = 4 এবং b+e = 5, তাহলে বলা যায়-
b=2, e=3 অথবা e=2, b=3 হবে
কিন্তু e=2 হতে পারবে না, সেক্ষেত্রে সমীকরণ (vi) অনুযায়ী d=6 হবে যা প্রশ্ন অনুযায়ী অসম্ভব! অর্থাৎ,
b=2, e=3 হবে
পাশাপাশি,
d=5 এবং c=1 হবে
সুতরাং, মাঝের বৃত্তে মুছে দেয়া সংখ্যাটি 3 ছিলো! এটাই আমাদের এই সপ্তাহের গাণিতিক সমস্যার উত্তর।
অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। তবে আমরা ১ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-২২ এ বিজয়ী একজন!
ছবি: সাপ্তাহিক সমস্যা-২২ এর বিজয়ী তালিকা
যারা সমস্যাটির সমাধান করার চেষ্টা করেছো, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি তোমাদের সমস্যা সমাধানের এই চেষ্টা অব্যাহত থাকবে। তোমাদের সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!
সাপ্তাহিক সমস্যা-২১: সংখ্যাভাবুক সৌভিক ইদানিং বীজগণিত নিয়ে পড়াশোনা করছে। বীজগণিতের সমীকরণ জিনিসটি বেশ মজার। সব সমীকরণ সমাধানের জন্য বিভিন্নভাবে চিন্তা করতে হয়। গতকালকে সৌভিকের বন্ধু তাকে বীজগণিতের একটি সমস্যা সমাধান করতে দিয়েছে। সমস্যাটি এরকম-
a, b, c তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যেখানে a + b + c = 97 এবং [(4a/5) + (5b/6) + (6c/7) = 82], abc এর সর্বোচ্চ মান কত হবে?
মজার বিষয় হলো, এখানে সমীকরণে অজানা রাশি আছে তিনটি কিন্তু সমীকরণ দেয়া আছে দুইটি! সৌভিক অনেকক্ষণ চিন্তা করে একটা সমাধান বের করেছে, সেটা এরকম-
a = 5, b = 36, c = 56 এবং abc = 10080
আচ্ছা সৌভিকের উত্তর কি সঠিক? আর কোন উত্তর হওয়া সম্ভব এখানে? সম্ভব হলে তুমি কি সেটা বের করতে পারবে?
Problem Weekly-21: Number-lover Souvik is studying Algebra nowadays. Algebraic equations are quite interesting. Solving all equations requires different ways of thinking. Yesterday Sauvik’s friend asked him to solve an interesting problem. The problem is described here-
a, b, c are three positive integers such that a + b + c = 97 and [(4a/5) + (5b/6) + (6c/7) = 82]. Find the maximum value of abc.
The interesting thing is that there are three unknowns in the equation but the given equation is only two. Sauvik thought for a long time and came up with a possible solution like below-
a = 5, b = 36, c = 56 and abc = 10080
Well, is Souvik’s answer correct? Is there any other possible solution? If possible, can you figure out the solution(s)?
সমাধান: সমীকরণ দুইটি যথাক্রমে,
a + b + c = 97 ……….(i) [(4a/5) + (5b/6) + (6c/7) = 82] ……..(ii)
যেহেতু a, b, c তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, আমরা বলতে পারি-
a সংখ্যাটি 5 দ্বারা বিভাজ্য, b সংখ্যাটি 6 দ্বারা এবং c সংখ্যাটি 7 দ্বারা বিভাজ্য! (ভেবে দেখ তো কেন এটা হবে?)
সমীকরণ (ii) থেকে আমরা বলতে পারি, 5, 6 এবং 7 এর লসাগু (LCM) হচ্ছে 210। তাহলে সমীকরণটিকে লিখা যায়-
(4a/5) + (5b/6) + (6c/7) = 82
বা, 168a + 175b + 180c = 17220
উপরে আমরা a, b এবং c এর বিভাজ্যতা নিয়ে আলোচনা করেছি। আমরা ধরে নিতে পারি-
a = 5d, b = 6e এবং c = 7f
এই মানগুলো আমরা সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই-
5d + 6e + 7f = 97 ……….(iii)
আবার, সমীকরণ (ii) এ আগের মানগুলো বসিয়ে পাই-
{(4×5d)/5} + {(5×6e)/6} + {(6×7f)/7} = 82
বা, 4d + 5e + 6f = 82 ……..(iv)
সমীকরণ (iii) থেকে সমীকরণ (iv) বিয়োগ করে পাই-
(5d + 6e + 7f) – (4d + 5e + 6f) = 97 – 82
বা, d + e + f = 15 ……..(v)
সমীকরণ (v) থেকে আমরা এটা নিশ্চিত যে, d, e এবং f এর ভিন্ন তিনটি মানের যোগফল 15 হবে। এখানে অনেকগুলো মানই সম্ভব, তবে কোনটি সর্বোচ্চ মান হবে সেটার জন্য আরেকটু সহজ উপায় বের করতে হবে বা আরো কম সংখ্যক মান হিসেব করে উত্তর বের করার চেষ্টা করতে হবে। একটা ভালো উপায় হচ্ছে d, e এবং f এর মান হিসেব করার জন্য আরেকটা সমীকরণ বের করা, যাতে করে আমরা আরো নিশ্চিত হয়ে সর্বোচ্চ মানের হিসেব করতে পারি। এখন সমীকরণ (v) কে 6 দ্বারা গুণ করে তার থেকে সমীকরণ (iv) কে বিয়োগ করে পাই-
(6d + 6e + 6f) – (4d + 5e + 6f) = 90 – 82 বা, 2d + e = 8
এবার d, e এবং f এর সম্ভাব্য মান যা যা হতে পারে, সেগুলো নিচের টেবিলে হিসেব করে দেখা যাক-
d
e
f
a=5d
b=6e
c=7f
abc
1
6
8
5
36
56
10080
2
4
9
10
24
63
15120
3
2
10
15
12
70
12600
দেখা যাচ্ছে মাত্র 3 বার আমরা d, e এবং f এর মান বসিয়েছি এবং abc এর সর্বোচ্চ মান হিসেব করেছি। মূলত, 2d + e = 8 সমীকরণটি আমাদের কাজ সহজ করে দিয়েছে, d এর দ্বিগুণ এবং e এর মানের যোগফল 8 এর বেশি হয় এরকম কোন মান আমাদের হিসেব করা লাগেনি। আচ্ছা, আর কোন মান ধরলে কি এরচেয়ে বেশি গুণফল পাওয়া যেত? চিন্তা করে দেখো তো…
তাহলে, abc = 15120 মানটি আমাদের এই সপ্তাহের গাণিতিক সমস্যার উত্তর।
অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। তবে আমরা এবার কোন সঠিক উত্তর পাইনি, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-২১ এ কাউকে বিজয়ী ঘোষণা করা যাচ্ছে না!
যারা সমস্যাটির সমাধান করার চেষ্টা করেছো, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি তোমাদের সমস্যা সমাধানের এই চেষ্টা অব্যাহত থাকবে। তোমাদের সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!
সাপ্তাহিক সমস্যা-২০: সংখ্যাভাবুক সৌভিক ঈদের ছুটিতে বরাবরের মতোই সংখ্যা নিয়ে চিন্তা-ভাবনা করছে। সে বেশকিছু সংখ্যা তৈরি করেছে যেখানে প্রতিটি অংক হয় ০ না হয় ১, যেমন- ১০১০১০ এরকম একটি সংখ্যা। মজার বিষয় হলো, এই সংখ্যাটি আবার ৬ দ্বারা বিভাজ্য। সৌভিক একইভাবে এরকম আরো অনেকগুলো সংখ্যা খুঁজে বের করার চেষ্টা করলো। সৌভিক সবশেষে ২০টি ভিন্ন সংখ্যা খুঁজে বের করলো যারা নিচের শর্তগুলো মেনে চলে-
১. প্রতিটি সংখ্যা শূন্য (০) অথবা এক (১), এই দুইটি অঙ্ক দিয়ে গঠিত।
২. প্রদত্ত সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য।
৩. সংখ্যাটি ১০০০০০০০০ থেকে ছোট।
উদাহরণ হিসেবে বলা যায়, ১০১০১০ সংখ্যাটি উপরের তিনটি শর্তই মেনে চলে।
আচ্ছা তোমরা কি সৌভিক এর সাথে একমত? এই তিনটি শর্ত মেনে চলে, এমন সংখ্যা কি আসলে ২০টি নাকি কম-বেশি হতে পারে?
Problem Weekly-20: Number-lover Souvik is thinking about numbers as always during the Eid vacation. He is making numbers where each digit is either 0 or 1. For example, 101010 is one of those numbers. Interestingly, this number is divisible by 6. Souvik has tried to find many more such numbers. He eventually finds 20 different numbers that satisfy the following conditions-
1. Each digit of the number consists of zero (o) or one (1) digit.
2. The number is divisible by six.
3. The number is less than 100000000.
For example, the number 101010 satisfies the above three conditions.
Do you agree with Souvik? Are there actually 20 numbers that satisfy these three conditions or is it more or less than the given number?
সমাধান: যেহেতু সংখ্যাটি 6 দ্বারা বিভাজ্য, তাহলে বলা যায় সংখ্যাটিকে অবশ্যই জোড় হতে হবে। আবার সংখ্যাটিতে শুধুমাত্র 1 বা 0 এই অংকগুলো আছে, তাই সংখ্যাটির শেষে অবশ্যই 0 থাকতে হবে।
যেহেতু সংখ্যাটি 6 দ্বারা বিভাজ্য, তাই সংখ্যাটি অবশ্যই 2 এবং 3 দ্বারা বিভাজ্য হবে।
আমরা জানি, 3 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যার ক্ষেত্রে সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফলকে অবশ্যই 3 দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।
প্রদত্ত শর্তানুসারে, সংখ্যাটি অবশ্যই 100000000 এর চেয়ে ছোট হবে। এখান থেকে আমরা বলতে পারি, সংখ্যাটিতে সর্বোচ্চ 7 টি অশূন্য সংখ্যা বা 1 থাকতে পারবে! (এটা কীভাবে নিশ্চিত হলাম আমরা? কারণ খুঁজে বের করো।)
সংখ্যাটিতে যেহেতু সর্বাধিক 8টি অংক থাকতে পারবে, তাই সংখ্যাটিকে abcdefg0 হিসেবে লিখা যায় যেখানে a, b, c, d, e, f এবং g এর মান 0 অথবা 1 হতে পারে।
এখন আমাদের এরকম সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যাদের অঙ্কের যোগফল 3 অথবা 6। যদি সংখ্যাটিতে 1 অঙ্কটি 6 বার থাকে, তাহলে 1-কে যেখানে যেখানে বসানো যেতে পারে যেগুলো বের করি-
11111100
11111010
11110110
11101110
11011110
10111110
01111110
এমন সংখ্যা হতে পারে মোট 7 টি! ((এখানে 01111110 সংখ্যাটি সাত অঙ্কের সংখ্যাকে নির্দেশ করছে)
যদি সংখ্যাটিতে 1 অঙ্কটি 3 বার থাকে, তাহলে 1 অঙ্কটিকে যেসব জায়গায় বসানো যেতে পারে সেটা বের করি-
11100000
10100100
10000110
01010010
00101100
11010000
10100010
01110000
01001100
00101010
11001000
10011000
01101000
01001010
00100110
11000100
10010100
01100100
01000110
00011100
11000010
10010010
01100010
00111000
00011010
10110000
10001100
01011000
00110100
00010110
10101000
10001010
01010100
00110010
00001110
এখানে মোট 35টি সংখ্যা আছে যারা উপরের শর্ত মেনে চলে। তাহলে মোট সংখ্যা হবে- 35 + 7 = 42 টি ।
(বি. দ্র. যারা বিন্যাস সমাবেশ সম্পর্কে জানে, তারা কিন্তু না গুনেই বের করতে পারবে। যেমন: 7C3 = 35 এবং 7C6 = 7)
সুতরাং, 42টি সংখ্যা আছে যারা উপরের তিনটি শর্ত মেনে চলে! এটাই আমাদের এই সপ্তাহের গাণিতিক সমস্যার উত্তর।
অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। শুধুমাত্র ২ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-২০ এ আমাদের বিজয়ী ২ জন!
ছবি: সাপ্তাহিক সমস্যা-২০ এর বিজয়ীদের তালিকা
যারা উত্তর পাঠিয়েছেন, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি আপনাদের সমস্যা সমাধানের এই যাত্রা অব্যাহত থাকবে। সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!
