সাপ্তাহিক সমস্যা-২৯: সংখ্যাভাবুক সৌভিক তার মামার সাথে শিশুপার্কে বেড়াতে গেছে, সাথে তার মামাতো ভাইবোনেরাও আছে। শিশুপার্কে ৫ বছরের কম বয়সী শিশুদের জন্য কোন টিকেট লাগে না এবং ১৮ বছররের কম বয়সী শিক্ষার্থীদের জন্য অর্ধেক দামে টিকেট বিক্রি করা হয়, বাকিদের জন্য পুরো দামে টিকেট বিক্রি হয়। সৌভিকের মামা টিকেট কাউন্টারে গিয়ে প্রথমে নিজের টিকেট কিনলেন, এরপর বাকিদের টিকেট নিতে তিনি অন্য একটি কাউন্টারে গেলেন। কাউন্টারের লোকটি উনাকে বাকি সবার বয়স জিজ্ঞেস করলো, পেছন থেকে সৌভিক উত্তর দিলো: আমাদের সবার বয়সের গুণফল ৩৮৪০ (সৌভিকের মামা বাদে), সবথেকে বড় যে, ছোট জনের বয়সের ৪ গুণ সে! কাউন্টারের লোকটি কতক্ষণ চিন্তা করলো, এরপর সৌভিকের মামাকে প্রয়োজনীয় টিকেট দিয়ে দিল, কোন ভুলও হয় নি! তুমি কী বলতে পারবে, পার্কে সৌভিকরা মোট কতজন ছিলো? কোন প্রকারের টিকেট তারা কয়টি করে কিনেছিলো?
Problem Weekly-29: Number-lover Sauvik is visiting a recreation park with his uncle and cousins. To enter the park, there is no ticket for children under 5 years, half-priced tickets for students under 18 years, and full-priced tickets are sold for Adults. Sauvik’s uncle bought his ticket first from the adult counter. Then he walked to another counter to buy tickets for the rest people. The checker at the counter asked him about their age, and Sauvik replied immediately like this: The product of our age is 3840 (except his uncle), and the age of the older person here is 4 times the age of the younger person! The checker has thought for a while, then provides Sauvik’s uncle with the required tickets without any mistake! Can you tell us the number of people who were with Sauvik in the park (including himself)? How many tickets of each type his uncle bought for them?
সমাধান: একটু ভালোভাবে চিন্তা করলে বুঝতে পারবে যে, সৌভিক ও তার মামাতো ভাইবোনদের বয়সের গুণফল ৩৮৪০ কে যদি মৌলিক উৎপাদকে (Prime Factorization) বিশ্লেষণ করা যায়, তাহলেই সবার বয়স বের করা সম্ভব! তাহলে, ৩৮৪০ সংখ্যাটিকে আমরা নিচের মতো করে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে পারি:
৩৮৪০ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫ = ২^৮ × ৩ × ৫
প্রশ্নমতে, সৌভিকদের মধ্যে সবচেয়ে বড় ব্যক্তিটি সবচেয়ে ছোট ব্যক্তির বয়সের ৪ গুণ। তাহলে ৩৮৪০ সংখ্যাটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ আমরা আরেকবার খেয়াল করি,
৩৮৪০ =২^৮ × ৩ × ৫ = ২^৬ × ২^২ × ৩ × ৫ = ২^৪ × ২^২ × ২^২ × ৩ × ৫
এখন খেয়াল করো, শর্তমতে যদি সবচেয়ে ছোট মানুষটির বয়স ১ বছর হয়, তবে সবচাইতে বড় মানুষটির বয়স হওয়ার কথা ৪ বছর। কিন্তু আমরা উৎপাদকগুলো লক্ষ্য করলে দেখতে পাচ্ছি, সর্বোচ্চ মৌলিক উৎপাদক হচ্ছে ৫। সুতরাং সৌভিক এবং তার মামাতো ভাইবোনদের মধ্যে কারো বয়সই এক বছর হওয়া সম্ভব না! যদি কারো বয়স ২ বছর হয়, সর্বোচ্চ বয়সের ব্যক্তি হতে হবে ৮ বছরের। সেক্ষেত্রে আমরা লিখতে পারি,
৩৮৪০ = ২ × ২^২ × ২^২ × ২^৩ × ৩ × ৫ = ২ × ৪ × ৪ × ৮ × ৩ × ৫ (এ গুণফলকে চাইলে এভাবেও লিখা যায়: ২ × ২ × ৪ × ৮ × ৬ × ৫)
এখান থেকে দেখা যাচ্ছে যে, সৌভিক ও তার মামাতো ভাইবোন মিলে পার্কে মোট ৬ জন ছিলো। এদের বয়স যথাক্রমে ২ বছর, ৩ বছর, ৪ বছর, ৪ বছর, ৫ বছর এবং ৮ বছর। এখান থেকে ৪ জনই ফ্রি টিকেটে পার্কে ঢুকতে পারতো, দুইজনের জন্য অর্ধেক দামে টিকেট কেনা লাগতো।
প্রশ্ন হচ্ছে, এটাই কী একমাত্র উত্তর? নাকি ভিন্ন উত্তরও সম্ভব? লিখার বাকি অংশ পড়ার আগে একটু ভেবে দেখো তো!
খেয়াল করো, সবচেয়ে ছোট ব্যক্তির বয়স যদি ৩ বছর হয়, তবে সবচাইতে বড় যে তার বয়স হতে হবে ১২ বছর যা অসম্ভব! কারণ আমরা উৎপাদকে বিশ্লেষণ থেকে দেখতে পাচ্ছি, ৩ সংখ্যাটি উৎপাদক হিসেবে আছে মাত্র ১ বার, ৩ এর চারগুণ বা ১২ পেতে হলে অন্তত আরো একটি ৩ এর প্রয়োজন হবে।
কিন্তু সবচেয়ে ছোট মানুষটির বয়স যদি ৪ বছর হয় তবে সবচেয়ে বড় মানুষটির বয়স হতে হবে ১৬ বছর, যা ৩৮৪০ এর মৌলিক উৎপাদক সমূহকে নতুন করে সাজালে সম্ভব হয়! আমরা হিসেব করে পাই,
৩৮৪০ = ২^৪ × ২^২ × ২^২ × ৩ × ৫ = ৪ × ৪ × ১৫ × ১৬ = ৪ × ৫ × ১২ × ১৬ = ৪ × ৬ × ১০ × ১৬
উপরে আমরা কয়েকটি ভিন্ন উপায়ে উৎপাদকগুলোর গুণফলকে প্রকাশ করেছি। সকল ক্ষেত্রেই সৌভিক ও তার মামাতো ভাইবোনদের সংখ্যা হয় ৪ জন কিন্তু টিকেটের ক্ষেত্রে হিসেব ভিন্ন ভিন্ন হয়। অর্থাৎ কখনো অর্ধেক দামের ২টি টিকেট কিনতে হবে, কখনো ৩টি কিনতে হবে ইত্যাদি। তোমরা চাইলে আরো কোন উত্তর হওয়া সম্ভব কি না সেটা ভেবে দেখতে পারো। পাশাপাশি, সবচেয়ে কম কিংবা সবচেয়ে বেশি কয়টি টিকেট কিনে পার্কে প্রবেশ করা যাবে সেটাও হিসেব করতে পারো।
অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। তবে কার সঠিক উত্তর আমরা পাই নি, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-২৯ এ কাউকে বিজয়ী ঘোষণা করা গেল না!
যারা সমস্যাটির সমাধান করার চেষ্টা করেছো, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি তোমাদের সমস্যা সমাধানের এই চেষ্টা অব্যাহত থাকবে। তোমাদের সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!
সাপ্তাহিক সমস্যা-২৮: সংখ্যাভাবুক সৌভিক বরাবরের মত আজকেও সংখ্যা নিয়ে ভাবছে। সে নিজের খাতায় একটি তিন-অংকের সংখ্যা “A” লিখলো। আবার সে খেয়াল করলো যে, সংখ্যাটির অংকগুলো উল্টিয়ে লিখলে আরেকটি নতুন তিন অংকের সংখ্যা “B” পাওয়া যায়। সৌভিক হিসেব করে দেখলো, এ দুইটি তিন অংকের সংখ্যা যোগ করলে যোগফল 1656 হয়। আচ্ছা, সৌভিক প্রথমে কোন সংখ্যাটি লিখেছিলো সেটা কী তুমি বলতে পারবে?
Problem Weekly-28: Number-lover Souvik is thinking about numbers as always. He has written a random three-digit number “A” in his notebook. Again, he has noticed that if the digits of the number “A” are reversed, a three-digit number “B” is obtained. Then Sauvik adds these two three-digit numbers and has got the sum to be 1656. Can you tell us which number Souvik wrote at first?
সমাধান: যেহেতু A একটি তিন অংকের সংখ্যা তাই আমরা লিখতে পারি-
A = 100a + 10b + c
[এখানে a, c এর মান 0 হবে না, এদের মান 9 এর সমান বা তার থেকে ছোট হবে, এবং 0 <= b <= 9 হবে]
যেমন 714 কে আমরা এভাবে লিখতে পারি-
714 = 7 × 100 + 1 × 10 + 4
যেহেতু A সংখ্যাটির অঙ্কগুলো উল্টিয়ে লিখলে একটি তিন অঙ্কের সংখ্যা B পাওয়া যায়, তাই আমরা লিখতে পারি-
B = 100c + 10b + a
প্রশ্নমতে,
A + B = 1656
বা, 100a + 10b + c + 100c + 10b + a = 1656
বা, 101a + 20b + 101c = 1656
বা, 20b = 1656 – 101(a+c)
বা, b = [1656 – 101 (a+c)] / 20
যেহেতু b একটি পূর্ণসংখ্যা, তার মানে ডানপাশের ভগ্নাংশের লবকে অবশ্যই 20 দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে বা লবের সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক 1 হতে হবে। (এটা কেন নিশ্চিত করে বলতে পারলাম? চিন্তা করে দেখো তো!)
তাহলে, (a+c) এর মান 6 বা 16 হতে হবে।
কিন্তু (a+c) এর মান 6 হলে b এর মান 9 এর চেয়ে বড় হয়ে যায় যেটা প্রদত্ত তথ্য অনুসারে সম্ভব না। (কারণ b এর মান 5 হতে পারবে।)
তাহলে বলা যায়,
(a+c) = 16
এবং b এর মান হবে-
b= [1656 – (101 × 16)] / 20
যেহেতু (a+c) = 16, তাহলে a এবং c এর সম্ভাব্য মান হবে-
(a, c) = (9, 7) , (8, 8), (7, 9)
তাহলে সৌভিক শুরুতে যে সংখ্যাটি লিখেছিল তার সম্ভাব্য মান হতে পারে, 927 বা 828 বা 729।
সুতরাং, উপরের তিনটি সংখ্যাইহচ্ছে আমাদের সাপ্তাহিক সমস্যা-২৮ এর উত্তর!
অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। তবে আমরা ৩ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-২৮ এ বিজয়ী তিনজন!
ছবি: সাপ্তাহিক সমস্যা-২৮ এর বিজয়ী তালিকা
যারা সমস্যাটির সমাধান করার চেষ্টা করেছো, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি তোমাদের সমস্যা সমাধানের এই চেষ্টা অব্যাহত থাকবে। তোমাদের সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!
সাপ্তাহিক সমস্যা-২৭: সংখ্যাভাবুক সৌভিক সম্প্রতি বীজগণিতের বিভিন্ন সূত্র, নানান রকমের সমীকরণ, এবং সেগুলো কিভাবে সমাধান করা যায় সে সম্পর্কে জানতে পেরেছে। এখন সে অবসর সময়ে বীজগণিতের বিভিন্ন সমীকরণ সমাধান করার চেষ্টা করে। সৌভিকের বন্ধু জ্যামিতিক জামি সৌভিককে একটি তিন চলকের সমীকরণ সমাধান করতে দিলো। সমস্যাটি এরকম:
x + 2y – z = 5
3x + 2y + z = 11
x(x+4y) + (2y+z)(2y-z) = 15
x^3 + y^3 + z^3 = ? (এখানে x, y এবং z তিনটি পূর্ণসংখ্যা)
সৌভিক অনেকক্ষণ ধরে এটা সমাধান করার চেষ্টা করলো। সৌভিক সমীকরণ সমাধানের জন্য যা যা শিখেছিলো, যেমন- অপনয়ন পদ্ধতি বা প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ,সেগুলো প্রয়োগ করে সমাধান করার চেষ্টা করলো। তোমরা কি কোনভাবে সৌভিককে সাহায্য করতে পারবে?
Problem Weekly-27: Number-lover Souvik has recently learned about algebra formulas, different types of equations, and how to solve those things. Now, he tries to solve various problems related to equations in his leisure time. Souvik’s friend Geometric Jami asked Souvik to solve a three-variable equation. The problem is like this –
x + 2y – z = 5
3x + 2y + z = 11
x(x+4y) + (2y+z)(2y-z) = 15
x^3 + y^3 + z^3 = ? (Here, x, y, and z are three integers.)
Sauvik has tried for a long time to solve this problem. He has applied the concepts that he learned previously such as the elimination or substitution method of solving equations. Can you help Souvik to solve this problem?
সমাধান: প্রদত্ত তিনটি সমীরকণ এরকম-
x + 2y – z = 5 …..(i)
3x + 2y + z = 11 …..(ii)
x(x+4y) + (2y+z)(2y-z) = 15 …..(iii)
এবার সমীকরণ (i) এবং সমীকরণ (ii) যোগ করে পাই,
x + 2y – z + 3x + 2y + z = 11 + 5
বা, 4x + 4y = 16
বা, x + y = 4
বা, y = 4 – x …..(iv)
সমীকরণ (i) থেকে আমরা পাই,
x + 2y – z = 5
বা, 2y – z = 5 – x …..(v)
সমীকরণ (ii) থেকে আমরা পাই,
3x + 2y + z = 11
বা, 2y + z = 11 – 3x …..(vii)
এখন সমীকরণ (iii) এ সবগুলো মান বসিয়ে পাই,
x(x+4y) + (2y+z)(2y-z) = 15
বা, x (x + 4 [4 – x]) + (5 – x) (11 – 3x) = 15
বা, x (x + 16 – 4x) +(5 – x) (11 – 3x) = 15
বা, x (16 – 3x) +(5 – x) (11 – 3x) = 15
বা, 16x – 3x2 + 55 – 15x – 11x + 3x2 = 15
বা, 16x – 26x + 40 = 0
বা, x= 4
তাহলে, x= 4 সমীকরণ (iv) এ বসিয়ে পাই,
y = 4 – x
বা, y = 4 – 4
বা, y = 0
একইভাবে, সমীকরণ (i) এ x= 4 এবং y = 0 বসিয়ে পাই,
x + 2y – z = 5
বা, z = x + 2y – 5
বা, z = 4 + 2 × 0 – 5
বা, z = -1
এবার তাহলে অবশিষ্ট বীজগাণিতিক রাশিটির মান বের করে ফেলি-
x^3 + y^3 + z^3
= 4^3 + 0^3 + (-1)^3
= 64 – 1
= 63
সুতরাং, 63 হচ্ছে আমাদের সাপ্তাহিক সমস্যা-২৭ এর উত্তর!
অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। তবে আমরা ৪ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-২৭ এ বিজয়ী চারজন!
ছবি: সাপ্তাহিক সমস্যা-২৭ এর বিজয়ী তালিকা
যারা সমস্যাটির সমাধান করার চেষ্টা করেছো, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি তোমাদের সমস্যা সমাধানের এই চেষ্টা অব্যাহত থাকবে। তোমাদের সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!
সাপ্তাহিক সমস্যা-২৬: সংখ্যাভাবুক সৌভিক বিভিন্ন সংখ্যার বৈশিষ্ট্য নিয়ে ভাবছে, যেমন মৌলিক সংখ্যা কী বা যৌগিক সংখ্যা কোনগুলো এসব। উদাহরণ হিসেবে বলা যায়- ৫ একটি মৌলিক সংখ্যা, ৬ হলো যৌগিক সংখ্যা। আবার, ২ হলো একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা! আরেকটা মজার বিষয় হলো, সকল বিজোড় সংখ্যা কিন্তু মৌলিক সংখ্যা না। অর্থাৎ ২ এর চেয়ে বড় যেকোন মৌলিক সংখ্যা বিজোড় হবেই, তবে বিজোড় হলেই সেটি মৌলিক হবে এরকম সবসময় সত্যি না। ব্যাপারটা বেশ মজার তাই না!
আজকে সকালে সৌভিক বিভিন্ন জোড় সংখ্যাকে দুইটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল হিসেবে লেখার চেষ্টা করছে। যেমন:
১৮ = ৯+৯
২০ = ১৩+৭ = ১১+৯ = ৫+১৫
১৪ = ১১+৩ = ৯+৫ = ৭+৭
সৌভিক হঠাৎ করে একটা ব্যাপার খেয়াল করলো- কিছু কিছু জোড় সংখ্যা আছে যাদেরকে দুইটি বিজোড় যৌগিক সংখ্যার যোগফল হিসেবে লেখা যায় না! যেমন: ৮ কিংবা ১৪। সৌভিক উৎসাহী হয়ে এরূপ কতগুলো জোড় সংখ্যা আছে, সেগুলো খুঁজে বের করা শুরু করলো। তোমরাও চাইলে সৌভিকের সাথে সাথে এই সমস্যাটি নিয়ে ভাবতে পারো-
“ এমন কতগুলো ধনাত্মক জোড় সংখ্যা আছে, যাদেরকে দুইটি বিজোড় যৌগিক সংখ্যার যোগফল আকারে প্রকাশ করা যায় না?”
Problem Weekly-26: Number-lover Souvik is thinking about the properties of different numbers, like prime or composite numbers. For example, 5 is a prime number, and 6 is a composite number. Again, 2 is the only even prime number. Another interesting fact is that all odd numbers are not prime numbers. To elaborate on this we can say, that any prime number greater than 2 must be an odd number but an odd number may or may not be a prime number! Quite interesting, isn’t it?
However, today Souvik is trying to write different even numbers as the sum of two odd numbers. For example,
18 = 9 + 9
20=13+7=11+9=5+15
14=11+3=9+5=7+7
Sauvik suddenly noticed that some even numbers cannot be written as the sum of two odd composite numbers, like 8 or 14. Souvik has become curious to find out if there exist other even numbers too. You can also think of this problem like Souvik-
“How many positive even numbers are there that cannot be expressed as the sum of two odd composite numbers?”
সমাধান: শুরুতে আমরা কয়েকটি ছোট সংখ্যা নিয়ে চিন্তা করি। যেমন : 40 পর্যন্ত যৌগিক বিজোড় পূর্ণসংখ্যা হল-
9, 5, 21, 25, 27, 33, 35, 39
এখন শর্তমতে, এই সংখ্যাগুলোর যোগফল জোড়ায় নিলে এবং যোগফলের পুনরাবৃত্তি বা 50 এর উপরে মান বাদ দিয়ে হিসেব করে আমরা পাই-
9 + 9 = 18
9 + 15 = 24
9 + 21 = 30
9 + 25 = 34
9 + 27 = 36
9 + 33 = 42
9 + 35 = 44
9 + 39 = 48
15 + 25 = 40
15 + 35 = 50
21 + 25 = 46
উপরের তালিকা থেকে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, 40 এর ছোট ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য নিম্নের 14টি জোড় সংখ্যাকে আমরা দুইটি বিজোড় যৌগিক সংখ্যার যোগফল আকারে লিখতে পারি না-
2, 4, 6, 8,10, 12, 14, 16, 20, 22, 26, 28, 32, 38
মজার ব্যাপার হলো, ৪০ এর চেয়ে বড় যেকোন জোড় সংখ্যাকে আসলে দুইটি যৌগিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল আকারে কিন্তু প্রকাশ করা যায়! কিছু উদাহরণ চিন্তা করা যাক-
40 = 15 + 25
42 = 9 + 33
44 = 9 + 35
আমরা 44 এর চেয়ে বড় যেকোন জোড় সংখ্যাকে দুইটি সংখ্যার যোগফল আকারে লিখতে পারি যার একটি হবে 6 এর গুণিতক, অপর সংখ্যা হবে 40 বা 42 বা 44 এর মধ্যে যে কোন একটি।
আরেকভাবে বলা যায়, 44 এর চেয়ে বড় যেকোন জোড় সংখ্যাকে আমরা 6 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ পাবো যথাক্রমে 0, 2, 4 এর মধ্যে যে কোন একটি। যেমন:
56 কে 6 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকবে 2
58 কে 6 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকবে 4
60 কে 6 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকবে 0
তাহলে আমরা এই সংখ্যাগুলো এভাবে লিখতে পারি-
56 = 44 + 12
58 = 40 + 18
60 = 42 + 18
তাহলে আমরা 44 এর চেয়ে বড় যে কোন জোড় সংখ্যাকে এভাবে লিখতে পারি-
6k+40 বা 6k+42 বা 6k+44
এখন, এই পদগুলোকে আমরা চাইলে এভাবেও লিখতে পারি-
6k+40 = 6k+15+25 = 3(2k+5) + 25
6k+42 = 6k+9+33 = 3(2k+3) +33
6k+44 = 6k+9+35 = 3(2k+3) +35
এখন (2k+3) বা (2k+5) সর্বদা বিজোড় সংখ্যা, তাই 3(2k+5) এবং 3(2k+3) অবশ্যই বিজোড় সংখ্যা হবে।
তাহলে আমরা প্রমাণ করতে পারলাম যে, 44 এর চেয়ে বড় যেকোন জোড় সংখ্যাকে আসলে দুইটি যৌগিক সংখ্যার যোগফল আকারে লেখা যায়!
তাহলে, মোট 14টিসংখ্যা আছে যাদেরকে দুইটি বিজোড় যৌগিক সংখ্যার যোগফল হিসেবে লিখা যায় না। এটাই আমাদের সাপ্তাহিক সমস্যা-২৬ এর উত্তর।
অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। তবে আমরা ১ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-২৬ এ বিজয়ী একজন!
ছবি: সাপ্তাহিক সমস্যা-২৬ এর বিজয়ী তালিকা
যারা সমস্যাটির সমাধান করার চেষ্টা করেছো, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি তোমাদের সমস্যা সমাধানের এই চেষ্টা অব্যাহত থাকবে। তোমাদের সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!
সাপ্তাহিক সমস্যা-২৫: সংখ্যাভাবুক সৌভিক সংখ্যার ধারা এবং সেটির যোগফল নির্ণয় করার পদ্ধতি সম্পর্কে খুব সম্প্রতি জেনেছে। তারপর থেকে সে সুযোগ পেলেই বিভিন্ন সংখ্যা লিখে তাদের মধ্যে কোনো ধারা পাওয়া যায় কি না, কিংবা ধারার যোগফল বের করা যায় কিনা সেটি নিয়ে ভাবতে থাকে। সৌভিকের বন্ধু জ্যামিতিক জামি আবার জ্যামিতির সমস্যা অনেক পছন্দ করে। জামির সংখ্যা নিয়ে চিন্তা করতে খুব একটা ভালো লাগে না। এজন্য সৌভিক সুযোগ পেলেই জামিকে সংখ্যা সংক্রান্ত সমস্যা সমাধান করতে দেয়। সৌভিক জামির জন্য ধারার একটি নতুন সমস্যা মনে মনে চিন্তা করলো। সমস্যাটি এরকম-
2, 4, 4, 1, 1, 3, 9, -1, 0, 2, 14, -3,…………
এভাবে এই ধারার জন্য কয়েকটি সংখ্যা লেখা হলো। প্রথমে সংখ্যাগুলো জামির কাছে হিজিবিজি হিজিবিজি মনে হলেও সংখ্যাগুলোর মধ্যে কিন্তু একটা নির্দিষ্ট প্যাটার্ন আছে। যদি ধারাটি এভাবে চলতে থাকে, তবে প্রথম ১১১ টি সংখ্যার যোগফল কত হবে? জামি এই সমস্যাটি নিয়ে অনেক চিন্তা করেও কোন সমাধানে আসতে পারছে না। তুমি কি জামিকে সাহায্য করতে পারবে?
Problem Weekly-25: Number-lover Souvik has recently learned about number series and the process of finding the sum of those series. Now, whenever he gets a chance, he writes down different numbers to see if there exists a series between them or if the sum of the series can be calculated. However, Souvik’s friend Geometric Jami likes geometry problems. He doesn’t like that much to think about numbers like Souvik. That’s why Souvik pushes Jami to solve number-related problems whenever he gets a chance. As it said, Souvik has thought of a new series problem for Jami. The problem is like this-
2, 4, 4, 1, 1, 3, 9, -1, 0, 2, 14, -3,………… At first, the numbers seem random to Jami like HIJIBIJI HIJIBIJI but there is a pattern between these numbers. If the series does continue this way, what will be the sum of the first 111 terms? Jami is trying hard but still doesn’t know how to approach this problem. Can you help Jami to solve this problem?
সমাধান: আমরা যদি সংখ্যাগুলো দেখি, সংখ্যাগুলোর মধ্যে আপাতদৃষ্টিতে কোন সম্পর্ক পাবো না। তবে লক্ষ করলে দেখা যাবে যে, কিছু সংখ্যা আছে যেগুলো বৃদ্ধি যেমন
9, 14….
আবার দেখা যাচ্ছে, ৭ম পদ হলো 9 এবং ১১ তম পদ হলো 14। একই ধারাবাহিকতায়, ৩য় পদ হলো 4। এখানে দেখা যাচ্ছে যে, 4, 9, 14 এর মধ্যে একটা প্যাটার্ন আছে।
তাহলে আমরা সংখ্যাগুলোকে এভাবে নিচের ছকে লিখি-
2
4
4
1
1
3
9
-1
0
2
14
-3
এখন কিন্তু খুব সহজেই আমরা অনেকগুলো সম্পর্ক পাচ্ছি । আরো সহজ করে বললে, এখানে আলাদা আলাদা চারটি প্যাটার্ন আছে যেটা এরকম-
2, 1, 0……
4, 3, 2……
4, 9, 14…..
1, -1, -3……
প্রদত্ত প্রশ্নমতে, 111 তম পদ পর্যন্ত যোগফল বের করতে হবে আমাদের। যেহেতু আমরা চার ধরণের প্যাটার্ন পেয়েছি, 111 কে 4 দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল হবে 27, ভাগশেষ থাকবে ৩। অর্থাৎ আমরা বলতে পারি, 111 টি পদের মধ্যে 27টি সংখ্যা থাকবে যারা শুধুমাত্র 1, -1, -3…. এই ধারা মেনে চলবে। বাকি তিনটি ধারার ক্ষেত্রে 28টি করে পদ থাকবে। (এটা কীভাবে আমরা নিশ্চিত হলাম?)
এখন আলাদা করে চারটি ধারা বা প্যাটার্নের যোগফল বের করে, সবগুলো একসাথে যোগ করলেই আমরা 111টি পদের যোগফল পেয়ে যাবো।
১ম ধারার ক্ষেত্রে
২য় ধারার ক্ষেত্রে
৩য় ধারার ক্ষেত্রে
৪র্থ ধারার ক্ষেত্রে
প্রথম পদ = 2
প্রথম পদ = 4
প্রথম পদ = 4
প্রথম পদ = 1
পদ সংখ্যা = 28
পদ সংখ্যা = 28
পদ সংখ্যা = 28
পদ সংখ্যা = 27
সাধারণ অন্তর = -1
সাধারণ অন্তর = -1
সাধারণ অন্তর = 5
সাধারণ অন্তর = -2
28টি পদের যোগফল = 14(4-27)= -322
28টি পদের যোগফল = 14(8-27)=-266
28টি পদের যোগফল = 14(8+27*5) = 2002
27টি পদের যোগফল = 13.5(2-52) = -675
তাহলে 111 তম পদ পর্যন্ত যোগফল হবে: (-322)+ (-266) + 2002 + (-675) = 739
চাইলে আমরা অন্যভাবেও সমস্যাটির সমাধান করতে পারি। আমরা প্রথম থেকে চারটি করে সংখ্যা নিয়ে যোগ করি তাহলে ধারাটি এরকম আসবে-
11, 12, 13 …
তাহলে 11, 12, 13 … এই ধারার প্রথম 28টি পদের যোগফল বের করে তার থেকে থেকে 1, -1, -3…… এই ধারাটির 28 তম পদ বিয়োগ করলেই আমরা উত্তর পেয়ে যাবো! (এটা কি ঠিক? যাচাই করে দেখো তো!)
তাহলে, 739 সংখ্যাটি হচ্ছে আমাদের সাপ্তাহিক সমস্যা-২৫ এর উত্তর।
অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। তবে আমরা ২ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-২৫ এ বিজয়ী দুইজন!
ছবি: সাপ্তাহিক সমস্যা-২৫ এর বিজয়ী তালিকা
যারা সমস্যাটির সমাধান করার চেষ্টা করেছো, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি তোমাদের সমস্যা সমাধানের এই চেষ্টা অব্যাহত থাকবে। তোমাদের সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!
সাপ্তাহিক সমস্যা-২৪: সংখ্যাভাবুক সৌভিক নতুন একটা খেলনা কিনেছে, যেখানে অনেকগুলো ব্লক একসাথে পাশাপাশি রয়েছে। ব্লকের একপাশে নম্বর এবং আরেকপাশে ইংরেজী বর্ণ লেখা। সৌভিক খেলতে খেলতে মজার একটা বিষয় লক্ষ করলো। মজার বিষয়টি হলো- পাশাপাশি যে সংখ্যাগুলো লেখা আছে, তাদের মধ্যে যেকোন দিক থেকে পরপর তিনটি সংখ্যা নিলে দেখা যায় যে, সংখ্যা তিনটির যোগফল হয় ১৯। সৌভিক এবার এই খেলনা নিয়ে একটি গাণিতিক সমস্যার কথা ভাবতে লাগলো। সে কিছু ব্লক এমনভাবে রাখলো যেন ইংরেজী বর্ণ দেখা যায়, আর বাকি ব্লকগুলো এমনভাবে রাখলো যেন কেবলমাত্র সংখ্যাটি দেখা যায়। এই পরিবর্তনের পর খেলনাটি দেখতে উপরের ছবির মত হয়েছে। তাহলে উপরের ছবি থেকে তোমরা কি বলতে পারবে, S ব্লকের বিপরীতে কোন সংখ্যাটি রয়েছে?
Problem Weekly-24:Number-lover Sauvik has bought a new toy that is made of many blocks side by side. Each block is like this- number on one side of the league and, alphabet on the other side. Sauvik noticed something interesting while playing with the toy. The interesting thing is that among the numbers written side by side; if anyone takes three numbers side by side from any direction or three consecutive numbers, the sum of the three numbers becomes 19. Sauvik now started thinking about a problem with this toy. He has placed some blocks in such a way that the alphabets are visible. And the rest of the blocks are placed so that only the number is visible. After this change, the toy looks like the picture given above. So can you tell which number is opposite to block S from the given picture?
সমাধান: যেহেতু পাশাপাশি তিনটি ব্লকের সংখ্যার যোগফল 19, তাহলে আমরা প্রথম দিক থেকে তিনটা করে ব্লক নিলে তাদের যোগফল হবে 19। এখান থেকে আমরা বলতে পারি-
4+P+Q=19
P+Q+R=19
Q+R+S=19
R+S+T=19
S+T+U=19
T+U+V=19
U+V+8=19
V+8+W=19
এখানে মোট ৮টি সমীকরণ পাওয়া গেছে। যেহেতু সবগুলোই সমান, কাজেই আমর লিখতে পারি-
4+P+Q = P+Q+R
অর্থাৎ, নিশ্চিতভাবে বলা যাচ্ছে R=4 হবে।
একইভাবে আমরা লিখতে পারি,
U= W = 4
কারণ, R+S+T = S+T+U
এবং U+V+8 = V+8+W
আবার,
T+U+V = U+V+8
অর্থাৎ, T = 8
এবার, S এর মান খুব সহজেই আমরা বের করে ফেলতে পারবো। প্রদত্ত সমীকরণ থেকে লিখা যায়-
R+S+T = 19
যেহেতু R=4 এবং T=8 তাহলে,
4+S+8 = 19
বা, S = 7
তাহলে S ব্লকের বিপরীতে 7 সংখ্যাটি থাকবে। এটাই আমাদের এই সপ্তাহের গাণিতিক সমস্যার উত্তর।
অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। তবে আমরা ৩ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-২৪ এ বিজয়ী তিনজন!
ছবি: সাপ্তাহিক সমস্যা-২৪ এর বিজয়ী তালিকা
যারা সমস্যাটির সমাধান করার চেষ্টা করেছো, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি তোমাদের সমস্যা সমাধানের এই চেষ্টা অব্যাহত থাকবে। তোমাদের সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!
