সাপ্তাহিক সমস্যা-০৬: সংখ্যাভাবুক সৌভিক তার স্কুলের ফুটবল টিমে খেলার সুযোগ পেয়েছে। সামনেই একটা টুর্নামেন্ট আছে। টুর্নামেন্টের আগে আগে চাপ মুক্ত থাকার জন্য সৌভিক তার দলের সবাইকে নিয়ে মেলায় ঘুরতে গেলো। মেলাতে বিভিন্ন ধরণের বিনোদনের ব্যবস্থা ছিল; ছিল নাগরদোলায় চড়ার ব্যবস্থা, ছিল সার্কাস, পুতুল নাচ ইত্যাদি।দলের সবাই মিলে ঠিক করলো নাগরদোলায় উঠবে। সবাই নাগরদোলায় চড়ে বসলো আর সৌভিক ছবি তোলার জন্য নিচে থেকে গেলো। কিছু ছবি তোলার পর সৌভিক দেখতে লাগলো ছবিগুলো কেমন হয়ছে। দেখার পর মনে মনে বললো , ছবি তো সুন্দরভাবেই উঠেছে! কিচ্ছুক্ষণ পর সৌভিক খেয়াল করলো যে, নাগরদোলায় ১০ জন যেভাবে বসেছে ,তাদের মধ্যে সুন্দর একটা গাণিতিক মিল আছে। পাশাপাশি বসা দুইজন খেলোয়াড়ের জার্সির নম্বরের বর্গের যোগফল, তাদের ঠিক বিপরীতে যে দুইজন খেলোয়াড় বসেছে, তাদের জার্সির নম্বরের বর্গের যোগফলের সমান! এখানে, ছবিতে চার জনের জার্সি নম্বর দেয়া আছে। তোমরা কি বলতে পারবে যে ,বাকি ছয় জন খেলোয়াড়ের জার্সি নম্বরের যোগফল কত হবে?
Problem Weekly-06: Number-lover Souvik has got a chance on his school team to play football. There’s a tournament ahead. Before the tournament, Souvik and his team went to the fair together to stay stress-free. There were various types of entertainment at the fair; there were arrangements for climbing in Nagardola, there were circuses, puppet-show, etc. The team decided to ride on the mighty “Nagordola”. Leaving Souvik, the rest of the team sat on Nagardola and gave Souvik the responsibility of taking pictures of them. So after taking the pictures, Souvik checked the quality of the pictures and said to himself, “The pictures are beautifully taken.” After some moment, Souvik somehow noticed that there was a beautiful mathematical similarity between the 10 players sitting in Nagardola. That is, the sum of the squares of the jersey number of two players is equal to the sum of the squares of the jersey number of two players who sit opposite them. In the picture below, the jersey number of four players is given. Can you say what will be the sum of the jersey number of the remaining six?
এখন, 60 কে আমাদের দুইটি রাশির গুণফল আকারে প্রকাশ করতে হবে। যেমন: (b + e) (b – e) = 60। এক্ষেত্রে, দুইটি রাশির প্রত্যেকটি সংখ্যা অবশ্যই জোড় অথবা বিজোড় হতে হবে। কোন একটি রাশির একটি সংখ্যা জোড় এবং অপরটি বিজোড় হতে পারবে না যেহেতু গুণফল একটি জোড় সংখ্যা!
কাজেই, আমরা বলতে পারি, (b + e) (b – e) = 6 × 10 এবং (b + e) (b – e) = 2 × 30 এই দুটোই সম্ভাব্য সমাধান হতে পারে। সুতরাং, আমাদের সমাধান অনুসারে (b, e) = (8,2) অথবা (16, 14) হবে। একইভাবে, (f, a) = (8,2) বা (16, 14) (d, c) = (8,2) বা (16, 14)
তাহলে, বাকি ছয়জনের জার্সি নম্বরের যোগফল হতে পারে 30 কিংবা 50 কিংবা 70 কিংবা 90। কিভাবে আমরা এটা বলতে পারলাম? নিচে দুইটি উদাহরণ দেখানো হল: যখন a = 2, b = 8, c = 2, d = 8, e = 2, f = 8 হবে, তখন যোগফল হবে 30।
আবার, যখন a = 2, b = 16, c = 2, d = 8, e = 14, f = 8 হবে, তখন যোগফল হবে 50।
এভাবে ভিন্ন ভিন্ন মান ধরে বাকি যোগফলগুলোও দেখানো যাবে। বুঝা যাচ্ছে, আমাদের এই সপ্তাহের সমস্যার বেশ কয়েকটি সমাধান আছে।
অনেকেই আমাদের কাছে এই সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছেন। তবে, সম্পূর্ণ সমাধান কেউ করতে পারেন নি। বেশিরভাগ সমাধানে আংশিক উত্তর এসেছে, এজন্য, সাপ্তাহিক সমস্যা-০৬ এ কাউকে বিজয়ী ঘোষণা করা হচ্ছে না!
সাপ্তাহিক সমস্যা-০৫: সংখ্যাভাবুক সৌভিক বিকালে বাসায় বসে টিভিতে ক্রিকেট খেলা দেখছে। ইংল্যান্ড এবং ওয়েস্ট ইন্ডিজ এর মধ্যকার খেলা চলছে। খেলাতে ক্রিস গেইল ৫ ওভারের একটি ম্যাচে একাই পুরো ম্যাচ ব্যাটিং করেছে। অন্য কোনো ব্যাটসম্যানকে কোনো বল খেলার সুযোগ দেন নি। ৫ ওভারের ম্যাচে চার মেরেছে ৫ বার এবং ছয় মেরেছে ১০বার! আবার, গেইল খেলা শেষে নট আউট ছিল। খেলাটিতে দৌড়িয়ে এক কিংবা দুই বা তিন রান প্রান্ত বদল করে নেওয়া সম্ভব। আর চার এবং ছয় রান তো আছেই। খেলাটিতে কোনো অতিরিক্ত রান ছিল না।সৌভিক হিসেব করে দেখলো গেইল যত রান করেছে সেটি একটি মৌলিক সংখ্যা! প্রশ্ন হলো, ক্রিকেট ম্যাচটিতে গেইল সম্ভাব্য কত রান করেছিলো এবং দৌড়িয়ে কতবার সে দুই রান নিয়েছিলো?
Problem Weekly-05: Number-lover Souvik is sitting at home in the afternoon watching the cricket match on TV. The cricket match is between England and West Indies. Chris Gayle batted the entire half alone in a match of 5 overs in the game. He did not give any other batsman a chance to play any ball. He hit fours 5 times and sixes 10 times in 5 overs. And he was not out at the end of the game. It is possible to make one or two or three runs by changing the end of the pitch through running in the game. There are also four and six runs. There were no extra runs in the game. Souvik calculated that the number of runs Gayle scored was a prime number! The question is how many runs did Gayle score in a cricket match and how many times did he take two runs by running?
সমাধান: গেইল যেহেতু অন্য ব্যাটসম্যানকে কোন বল খেলার সুযোগ দেয় নি এবং খেলা শেষে নট আউট ছিল; তার মানে গেইল একাই 30টি বল খেলেছে এবং পুরো খেলায় কেউ তাকে আউট করতে পারেনি।
খেলায় গেইল চার মেরেছে 5 বার এবং ছয় মেরেছে 10 বার। অর্থাৎ, 15 বলে সে মোট রান করেছে = (4 × 5) + (6× 10) = 80 রান
বাকি থাকলো 15 বল। এই 15 বলে অবশ্যই তাকে 0, 1, 2, 3 এই রানগুলো করতে হয়েছে। আবার, প্রথম 4 ওভারের ক্ষেত্রে প্রতি ওভারের শেষ বলে অবশ্যই গেইলকে বিজোড় সংখ্যক রান দৌড়িয়ে নিতে হবে, যাতে করে সে পরবর্তী ওভারের শুরু থেকেই ব্যাটিং করার সুযোগ পায়। ওভারের মাঝখানে এবং পঞ্চম ওভারের শেষ বলে গেইল চাইলে শুন্য রান কিংবা দৌড়িয়ে দুই রান নিতে পারবে।
এখন, গেইল যদি প্রথম চার ওভারের ক্ষেত্রে শেষ বলে বিজোড় সংখ্যক রান নেয় এবং পঞ্চম ওভারের শেষ বলে জোড় সংখ্যক রান নেয়, তাহলে কোনভাবেই গেইলের মোট রান বিজোড় সংখ্যা কিংবা মৌলিক সংখ্যা হতে পারবে না! (এই দাবি কি যৌক্তিক? পাঠকের কাছে প্রশ্ন থাকলো!) তাহলে আমরা সিদ্ধান্ত নিতে পারি যে, গেইলকে অবশ্যই পঞ্চম ওভারের শেষ বলে বিজোড় সংখ্যক রান নিতে হবে।
আচ্ছা, এখন গেইল এই ম্যাচে সর্বনিম্ন যে রান করতে পারে সেটা হলো- 85 রান ( চার রান- 5 বার, ছয় রান- 10 বার, এক রান- 5 বার , শুন্য রান বা ডট বল- 10 বার)।
গেইল এই ম্যাচে সর্বোচ্চ যে রান করতে পারে সেটা হলো- 115 রান ( চার রান- 5 বার, ছয় রান- 10 বার, তিন রান- 5 বার, দুই রান- ১০ বার)।
এই খেলায় গেইলের রান একটি মৌলিক সংখ্যা হবে। 85 এবং 115 এর মাঝে মোট মৌলিক সংখ্যা আছে 7 টি: 89 , 97, 101, 103 , 107, 109, 113
এখানের কোন কোন রান সম্ভব আমরা সেটা হিসেব করে দেখি-
89
0 run = 8 times
1 run = 5 times
2 run = 2 times
3 run = 0 times
4 run = 5 times
6 run = 10 times
97
0 run = 4 times
1 run = 5 times
2 run = 6 times
3 run = 0 times
4 run = 5 times
6 run = 10 times
101
0 run = 2 times
1 run = 5 times
2 run = 8 times
3 run = 0 times
4 run = 5 times
6 run = 10 times
103
0 run = 1 times
1 run = 5 times
2 run = 9 times
3 run = 0 times
4 run = 5 times
6 run = 10 times
107
0 run = 0 times
1 run = 4 times
2 run = 10 times
3 run = 1 times
4 run = 5 times
6 run = 10 times
109
0 run = 0 times
1 run = 3 times
2 run = 10 times
3 run = 2 times
4 run = 5 times
6 run = 10 times
113
0 run = 0 times
1 run = 1 times
2 run = 10 times
3 run = 4 times
4 run = 5 times
6 run = 10 times
আমরা দেখছি, সবগুলো রানই হিসেব অনুযায়ী সম্ভব! আবার, একটু খেয়াল করলে আমরা বুঝতে পারবো যে, একই রান চাইলে ভিন্ন ভিন্ন উপায়েও করা সম্ভব ছিলো। যেমন:
101
0 run = 2 times
1 run = 5 times
2 run = 8 times
3 run = 0 times
4 run = 5 times
6 run = 10 times
101
0 run = 7 times
1 run = 0 times
2 run = 3 times
3 run = 5 times
4 run = 5 times
6 run = 10 times
উপরের ছক থেকে সহজেই বুঝা যাচ্ছে গেইলের সম্ভাব্য রান কত ছিলো এবং সে মোট কতবার দৌড়িয়ে 2 রান নিয়েছিলো।
অনেকেই আমাদের কাছে এই সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছেন। তবে, সম্পূর্ণ সমাধান কেউ করতে পারেন নি। বেশিরভাগ সমাধানে আংশিক উত্তর এসেছে (যেমন: 107 কিংবা 113 রান)। এজন্য, সাপ্তাহিক সমস্যা-০৫ এ কাউকে বিজয়ী ঘোষণা করা হচ্ছে না!
সাপ্তাহিক সমস্যা-০৪: আমাদের সবার পরিচিত “জ্যামিতিক জামি” আর “সংখ্যাভাবুক সৌমিক” একদিন তাদের কলেজ ক্যান্টিনে বসে গল্প করছে। ওদের কলেজের ক্যান্টিন বেশ আধুনিক। ক্যান্টিনে মোটামুটি সব ধরণের ফার্স্টফুড খাবার এবং কোল্ড ড্রিংক্স পাওয়া যায়। 250 মিলি. এর কাঁচের বোতলের কোল্ড ড্রিংক্স পাওয়া যায় এখানে যেগুলো বাইরে সাধারণত পাওয়া যায় না। কাঁচের বোতলের কোল্ড ড্রিংক্স এর দাম 15 টাকা। কিন্তু অনেক শিক্ষার্থী এটি কিনে ক্যান্টিনের যেখানে সেখানে ফেলে রাখে। এজন্য ক্যান্টিনে নিয়ম করা হয়েছে যে, কোল্ড ড্রিংক্স এর বোতল কিনতে হলে প্রথমে 20 টাকা দিতে হবে, যদিও প্রকৃত দাম কিন্তু 15 টাকা। এবং খাওয়া শেষ করে বোতল জমা দিলে 5 টাকা ফেরত দেয়া হবে!
তো যাই হোক, জামি চিন্তা করেছে আজকে তার সহপাঠীদের 7UP এর একটা বড়সড় ট্রিট দিবে। কিন্তু জামির মানিব্যাগে সর্বসাকুল্যে 2025 টাকা রয়েছে। জামি তার বন্ধু সৌভিকের সাথে এটা নিয়ে কথা বলা শুরু করলো-
জামি: আমার কাছে তো 2025 টাকা আছে। ট্রিট দেয়ার উদ্দেশ্যে প্রত্যেকের জন্য যদি 15 টাকা করে খরচ করি, তাহলে আমি আজ 135 জনকে 7UP এর ট্রিট দিতে পারবো। সৌভিক: আরে না! তুমি তো প্রথমে 135 টা 7UP কিনতে পারবে না। তোমাকে 101 টা 7UP এর বোতল কিনতে হবে। জামি: তাই নাকি? আচ্ছা তুমি তাহলে বলো তো, আমি 2025 টাকায় মোট কয়জনকে 7UP এর ট্রিট দিতে পারবো? সৌভিক: আমি জানি কিন্তু বলবো না। তুমি নিজেই উত্তরটা বের করো!
আচ্ছা, তোমরা কি বলতে পারবে, জামি সর্বোচ্চ মোট কতজনকে ট্রিট দিতে পারবে?
Problem Weekly-04: One day our famous duo, “Geo-centric Jami” and “Number-lover Soumik”, are sitting in their college canteen and having chitchat as usual. Their college canteen is a furnished one. Almost all kinds of fast food and cold drinks are available in the canteen. 250ml glass bottles of cold beverages are mainly available here which are not usually available outside. Each of the glass bottles costs Tk15. But many people buy glass bottles and, leave them wherever in the canteen. So, a rule has been set in the canteen: to buy a glass bottle of cold drinks, one has to pay 20tk first, although the actual price is 15tk. And, if anyone finishes drinking and, returns the bottle unharmed, they will pay back 5tk.
Jami, however, has thought of giving his classmates a 7UP treat today. Jami has a total of 2025tk in his wallet. He is talking with Souvik about this matter- Jami: I have 2025tk in my wallet. If I spend 15tk for everyone, I can give 135 people a 7UP treat today. Souvik: Not really! You can’t buy 135 bottles at first. Initially, you can buy at most 101 bottles. Jami: Is that so? Then tell me, how many people can I give a 7up treat to within 2025tk? Souvik: I know but I will not reveal. Find it by yourself!
Well, can you tell us the highest number of people Jami gives treats to?
সমাধান: প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, জামির কাছে প্রথমে ছিল 2025 টাকা।
যেহেতু একটি 7up কিনতে 20 টাকা লাগে, তাই 2025 টাকা দিয়ে জামি প্রথমবার মোট 7up কিনতে পারবে = (2025 ÷ 20 ) = 101 টি এবং অবশিষ্ট থাকবে 5 টাকা।
কিন্তু ক্যান্টিনের নিয়মানুসারে, প্রতিটি খালি বোতল জমা দিলে 5 টাকা ফেরত পাওয়া যায়।
তাহলে, 101 টি 7up এর খালি বোতল জমা দিলে জামি ফেরত পাবে = (101 × 5) = 505 টাকা।
তাহলে, আগের 5 টাকা সহ জামির কাছে বর্তমানে আছে = (505+5) বা 510 টাকা।
এবার, 510 টাকা দিয়ে জামি মোট 7up কিনতে পারবে = (510 ÷ 20 ) = 25 টি এবং অবশিষ্ট থাকবে 10 টাকা।
একইভাবে, এই 25 টি 7up এর খালি বোতল জমা দিলে জামি ফেরত পাবে = (25 × 5) = 125 টাকা।
তাহলে, এখন জামির কাছে আছে (125+10) বা 135 টাকা।
একই নিয়মে, 135 টাকায় মোট 7up কেনা যাবে = (135 ÷ 20 ) = 6 টি এবং অবশিষ্ট থাকবে 15 টাকা।
আবার, 6 টি 7up এর বোতল জমা দিলে ফেরত পাওয়া যাবে 30 টাকা। তাহলে, জামির কাছে এখন থাকবে (30+15) বা 45 টাকা।
একইভাবে, 45 টাকায় 7up কেনা যাবে 2 টি এবং অবশিষ্ট থাকবে 5 টাকা।
নিয়মানুসারে, 2 টি 7up এর বোতল জমা দিলে ফেরত পাওয়া যাবে 10 টাকা
তাহলে, জামির কাছে এখন আছে (10+5) বা 15 টাকা।
20 টাকার কমে যেহেতু 7up কেনা যায় না, কাজেই জামি অবশিষ্ট টাকা দিয়ে নতুন করে 7up কিনতে পারবে না।
তাহলে, জামি মোট 7up কিনতে পেরেছে = (101 + 25 + 6 + 2) = 134 টি
সুতরাং, জামি মোট 134 জনকে ট্রিট দিতে পেরেছিলো।
অনেকেই আমাদের কাছে এই সুন্দর সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছেন। আমরা মোট ১২ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি। তারা হলেন-
সাপ্তাহিক সমস্যা-০৩: চট্টগ্রামের ছেলে তৌফিক তার বন্ধুদের মেজবান অনুষ্ঠানের দাওয়াত দিয়েছে। তবে শর্ত দিয়েছে যে, অনুষ্ঠানের দিন শুধুমাত্র লাল, সবুজ, সাদা কিংবা কালো- এই চার রঙের মধ্য যে কোন এক রঙের পোশাক পরিধান করে উপস্থিত থাকতে হবে। অনুষ্ঠানের দিন তৌফিকের বন্ধুদের মধ্যে আমাদের সবার পরিচিত সংখ্যাভাবুক সৌভিকও ছিল। সৌভিক অনুষ্ঠানে এতো মানুষজন দেখে অবাক! সে ঘুরে ঘুরে কতজন মানুষ এসেছে সেটি গণনা করা শুরু করে দিল। একসময় তৌফিকের সাথে সৌভিকের সাথে দেখা হয়। তারা নিজেদের মধ্যে কথা বলতে শুরু করে- তৌফিক: দেখছিস কতো মানুষ এসেছে! সৌভিক: হ্যাঁ। আমি গুনে দেখলাম অনেক মানুষ এসেছে। তবে, যতজন এসেছে তাদের মধ্যে ছয় ভাগের এক ভাগ মানুষ লাল পোশাক পরে এসেছে। ১৩৮ জন কালো রঙের পোশাক পরে এসেছে। আবার, যত জন মানুষ সাদা রঙের জামা পরেছে, তারচেয়ে তিন গুণ মানুষ সবুজ রঙের জামা পরেছে। আর, মোট উপস্থিত মানুষের চার ভাগের এক ভাগ মানুষ সাদা কিংবা কালো রঙের পোশাক পরেছে। তৌফিক: তাই নাকি! আমি তাহলে খাওয়া-দাওয়া শেষ করে তোমার এই ধাঁধাঁর সমাধান করার চেষ্টা করবো। আজকে কিন্তু সমাধান না করে বাসায় যাচ্ছি না!
আচ্ছা, তোমরা কি বলতে পারবে “মেজবান” অনুষ্ঠানে মোট কতজন মানুষ এসেছিল?
Problem Weekly-03: Taufiq, a son of Chittagong, has invited his friends to the “Mezban” ceremony. However, a dress code has been set for the attendee: only red, green, white, or black; these four colors are the options to wear for the ceremony. Among Taufiq’s friends, on the event day, Number-lover Souvik was also present. He was surprised to see so many people there. He turned around and started counting how many people had come to the program. At one point, Taufiq meets Souvik. They started to talk- Taufiq: You see how many people have come! Souvik: I saw a lot of people coming. However, one-sixth of those who came were wearing red clothes. 138 people came dressed in black. Three times as many people were wearing green clothes than those who wear white clothes. And one-fourth of the people present are wearing white or black clothes. Taufiq: Is that so?! I’ll try to solve it after having the meal. And, of course, I’ll not leave this place until I solve your riddle!
Well, can you tell me how many people came to the “Mezban” ceremony in total?
সমাধান: আমরা প্রথমে ধরি যে, মেজবান অনুষ্ঠানে মোট মানুষ এসেছে x জন
তাহলে লাল পোশাক পরেছে এমন মানুষের সংখ্যা হবে x/6 জন
আর কালো পোশাক পরেছে এমন মানুষের সংখ্যা হলো 138 জন
আবার, বলা আছে মোট মানুষের চার ভাগের এক ভাগ মানুষ হয় কালো কিংবা সাদা রঙের পোশাক পরেছে।
তাহলে, সাদা রঙের পোশাক পরেছে এমন মানুষের সংখ্যা + কালো রঙের পোশাক পরেছে এমন মানুষের সংখ্যা = x/4
তাহলে সাদা রঙের পোশাক পরেছে এমন মানুষের সংখ্যা = (x/4 – 138)
আবার, সবুজ রঙের পোশাক পরেছে এমন মানুষের সংখ্যা, সাদা রঙের পোশাক পরা মানুষের তিন গুণ।
অর্থাৎ, সবুজ রঙের পোশাক পরেছে এমন মানুষের সংখ্যা = 3 × (x/4 – 138)
তাহলে আমরা বলতে পারি,
x/6 + 138 + (x/4 – 138) + [ 3 × (x/4 – 138)] = x
বা, x/6 + x/4 + (3x/4) – 414 = x
বা, x/6 + (4x/4) = x + 414
বা, x/6 = 414
বা, x = 2484
সুতরাং, মেজবান অনুষ্ঠানে মোট 2484 জন মানুষ উপস্থিত ছিল। এটাই আমাদের উত্তর।
সাপ্তাহিক সমস্যা-০২: একই পরীক্ষায় তিনটি ভিন্ন শ্রেণির শিক্ষার্থীরা অংশ নেয়। পরীক্ষাটি ছিল 100 নম্বরের। একটি ক্লাসে 22 জন ছাত্র ছিল এবং পরীক্ষায় তাদের ক্লাসের গড় নম্বর ছিল 87% । আরেকটি শ্রেণীতে 27 জন ছাত্র ছিল এবং পরীক্ষায় তাদের ক্লাস গড় নম্বর ছিল 83% । সর্বশেষ শ্রেণীতে 31 জন ছাত্র ছিল এবং পরীক্ষায় তাদের ক্লাসের গড় নম্বর ছিল 81%। পিয়াল, রাশিক এবং বিন্দু নামে তিনজন শিক্ষার্থী তাদের ফলাফল নিয়ে আলোচনা করছে। রাশিক বিন্দুর চেয়ে এক নম্বর কম পেয়েছে এবং পিয়াল বিন্দুর চেয়ে এক নম্বর বেশি পেয়েছে। তাদের পরীক্ষাপত্র পর্যালোচনা করার পর রাশিক এবং বিন্দু উভয়েই তাদের খাতায় একটি ত্রুটি খুঁজে পায়: উত্তরপত্রে দেয়া নম্বর যোগ করতে ভুল করা হয়েছে। ফলস্বরূপ, পরবর্তীতে তাদের উভয়ের প্রাপ্ত নম্বর বেড়ে 92 হয়। পিয়াল আবিষ্কার করলো যে, তার উত্তর করা একটি প্রশ্নে কোন নম্বর দেয়া হয়নি। পুনরায় পিয়ালের খাতা যাচাই এর পর তার নম্বর বেড়ে 92 হয়। পিয়াল, রাশিক এবং বিন্দুর এই নম্বরের পরিবর্তনের জন্য সকল শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার গড় নম্বর পরিবর্তি হয়ে 84% হয়। তাহলে, নম্বর সংশোধনের আগে পরীক্ষাতে পিয়াল, রাশিক এবং বিন্দু কত নম্বর পেয়েছিল?
Problem Weekly-02: Students in three different classes attended the same exam. The exam was marked out of 100. One class had 22 students in it and, their class average on the exam was reported as 87%. The second class had 27 students in it and, their class average on the exam was reported as 83%. The third class had 31 students in it and, their class average on the exam was reported as 81%. Three students- Pial, Rashik, and Bindu discussed their results. Rashik obtained a mark one less than Bindu and Pial obtained a mark one more than Bindu. Upon reviewing their papers, Rashik and Bindu both discovered additional errors on their papers. Both of their marks increased to 92. Pial discovered that one of his questions had not been marked. This review resulted in his mark increasing to 92 as well. These changes resulted in the exam average for all of the students in the three classes combined changing to exactly 84%.
What marks did Pial, Rashik, and Bindu originally have on their papers before the errors were corrected?
ছবি: বিন্দু, রাশিক ও পিয়াল তাদের পরীক্ষার নম্বর জানতে পেরেছে!
সমাধান: একটি ক্লাসের জন্য শিক্ষার্থীদের মোট নম্বর হবে সবার গড় নম্বর এবং শিক্ষার্থীর সংখ্যার গুণফলের সমান।
পরীক্ষার খাতায় ভুল বা ত্রুটি ধরা পড়ার আগে-
22 জন শিক্ষার্থী যে শ্রেণিতে আছে তাদের মোট নম্বর ছিল: 22 × 87 = 1914
পরীক্ষার খাতায় ভুল বা ত্রুটি ধরা পড়ার আগে-
27 জন শিক্ষার্থী যে শ্রেণিতে রয়েছে তাদের মোট নম্বর ছিল: 27 × 83 = 2241
পরীক্ষার খাতায় ভুল বা ত্রুটি ধরা পড়ার আগে-
31 জন শিক্ষার্থী যে শ্রেণিতে রয়েছে তাদের মোট নম্বর ছিল: 31× 81 = 2511
তাহলে মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা হলো: 22 +27 + 31= 80
এবং এই তিন শ্রেণির শিক্ষার্থীর মোট নম্বর হলো: 1914+2241+2511 = 6666
আবার, পরীক্ষার খাতায় নম্বর কারেকশনের পর এই 80 জন শিক্ষার্থীর গড় নম্বর হয় 84।
তাহলে তাদের মোট নম্বর হবে: 80 × 84 = 6720
তাহলে মোট নম্বরের পরিবর্তন হয়েছে: 6720−6666= 54
পিয়াল, রাশিক এবং বিন্দুর নম্বর বেড়ে যাওয়ার ফলে এই 54 নম্বর বৃদ্ধি পেয়েছে।
সাপ্তাহিক সমস্যা-০১: সংখ্যাপ্রেমী সৌভিক প্রদত্ত সংখ্যাগুলো {−7, −5, −3, −1, 0, 2, 4, 6, 8} থেকে তিনটি ভিন্ন সংখ্যা নির্বাচন করতে চাইলো। তারপর সে নির্বাচিত তিনটি সংখ্যা গুণ করে সবচেয়ে বড় গুণফলটি বের করার চেষ্টা করলো। সৌভিকের পাওয়া সর্বোচ্চ গুণফলটি কত হতে পারে?
Problem Weekly-01: Number-lover Souvik selects three different numbers from the set {−7, −5, −3, −1, 0, 2, 4, 6, 8}. He then tries to find the highest product of the three chosen numbers. What is the largest product that Number-lover Souvik can make?
ছবি: সৌভিক তার কাঙ্ক্ষিত উত্তর পেয়ে গেছে!
সমাধান: যেহেতু আমাদেরকে গুণফল সর্বোচ্চ বানাতে হবে, এজন্য এই সেট থেকে আমাদেরকে বড় সংখ্যা নির্বাচন করতে হবে এবং সে গুণফল অবশ্যই একটি ধনাত্মক সংখ্যা হতে হবে। কিন্তু এখানে একই সাথে ধনাত্মক সংখ্যা এবং ঋণাত্মক সংখ্যা রয়েছে। এটায় একটা ঝামেলা আছে! কেমন ঝামেলা?
আমারা জানি, দুইটি ঋণাত্মক সংখ্যার গুনফল একটি ধনাত্মক সংখ্যা। যেমন:
(−3) × (−5) = 15
আবার, একটি ঋণাত্নক সংখ্যা এবং একটি ধনাত্নক সংখ্যার গুণফল একট ঋণাত্নক সংখ্যা হয়। যেমন:
(−3) × 5 = 15
কাজেই, আমাদেরকে তিনটা সংখ্যাই ধনাত্মক বাছাই করতে হবে অথবা দুইটি ঋণাত্মক সংখ্যা এবং একটি ধনাত্মক সংখ্যা বাছাই করে হবে।
সুতরাং, তিনটি সংখ্যাই ধনাত্মক বাছাই করলে প্রাপ্ত গুণফল হবে-
4 × 6 × 8= 192
এটাই কি সর্বোচ্চ গুণফল হবে? এর বেশি কি পাওয়া সম্ভব হবে না?
হ্যাঁ, সম্ভব হবে! আমরা যদি দুইটি ঋণাত্মক সংখ্যা এবং একটি ধনাত্মক সংখ্যা বাছাই করি, তাহলে প্রাপ্ত গুণফল হবে-
(-7) × (−5) × 8 = 280
এটাই আমাদের প্রাপ্ত সর্বোচ্চ গুণফল!!
অনেকেই আমাদের উত্তর পাঠিয়েছেন। আমরা মোট ১২ জন সঠিক উত্তরদাতা পেয়েছি। তাই আমাদের সাপ্তাহিক সমস্যা-০১ এর বিজয়ী মোট ১২ জন!
Tanay Paul
Rajdhani High School
Sanjoy Kumar
Rajshahi University
Namia Rauzat
HURDCO International School
Areeba Adreeta
Viqarunnisa noon school and college
Aariz Abdullah
Shaheed Police Smrity College
Bihan Paul
Ideal School and College
Sreema Chowdhury
Bangladesh Mahila Samity Girls’ High School And College
Nawshin Anjum Murshed Rupkotha
MUBC
Ahnaf Tahmid Saklain
Rajshahi University School And College
Kawser Mahamud Junyed
Hariharpara High School
Md Al Amin
Notre Dame College Dhaka
Md.Sajedul Hasan Nasim
University of Chittagong
যারা উত্তর পাঠিয়েছেন, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি আপনাদের সমস্যা সমাধানের এই যাত্রা অব্যাহত থাকবে।
সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক! (আমাদের অন্যান্য গাণিতিক সমস্যা দেখতে এই লিঙ্কে ক্লিক করুন।)
ছবি: সৌভিক তার কাঙ্ক্ষিত উত্তর পেয়ে গেছে!