সাপ্তাহিক সমস্যা-২৩ এর সমাধান (Problem Weekly–23 with Solution)

Aug 8, 2023 | Problem Weekly (সাপ্তাহিক সমস্যা)

Problem Weekly-23: Geometric Jami is drawing various geometric figures as he likes in his notebook. First, he drew a point, then a line segment, then a triangle, quadrilateral, pentagon, and so on, he started drawing different polygons. Besides this, he began to mark the vertices of geometric figures with serial numbers
1, 2, 3, 4……
Now, how many sides will there be in the geometric figure that Jami will write the number 2023? Let’s start thinking about the solution! 

সমাধান: আমরা যদি শীর্ষবিন্দুগুলো গণনা শুরু করি, তাহলে দেখতে পাবো যে শীর্ষবিন্দুগুলোর সংখ্যাগুলো হবে-

1+2+3+4+5+6………

আমরা নিচের ছকে একটু হিসেব করে দেখি কোন জ্যামিতিক চিত্রে বিন্দুর সংখ্যা কয়টি হবে- 

একটু চিন্তা করলে বুঝতে পারবে, এখানে মোট বিন্দুর সংখ্যা মূলত 1 থেকে শুরু করে প্রথম n সংখ্যক ধনাত্মক সংখ্যার যোগফল। আমরা গাউসের সূত্র বা সমান্তর ধারার সূত্র থেকে জানি যে-

প্রথম n সংখ্যক ধনাত্মক সংখ্যার যোগফল হবে-   [n(n+1)/2]

নিচের ছকে তাহলে একটু হিসেব করে দেখি n এর বিভিন্ন মানের জন্য বিন্দুর সংখ্যা কেমন হবে-

খেয়াল করে দেখো, n এর মান 63 হলে মোট বিন্দুর সংখ্যা আমরা পাচ্ছি 2016, n এর মান 64 হলে আমরা পাচ্ছি 2080। 

সুতরাং, 64 বাহু বিশিষ্ট বহুভূজের শীর্ষবিন্দুতে 2023 লিখা থাকবে। এটাই আমাদের এই সপ্তাহের গাণিতিক সমস্যার উত্তর!

আমরা এই সমস্যাটির একটি বিকল্প সমাধানও চিন্তা করতে পারি। অসমতা ব্যবহার করলে সমস্যটির সমাধান এরকম হবে-

n এর সর্বনিম্ন মান তাহলে 64 হবে। অর্থাৎ, 64 বাহু বিশিষ্ট বহুভূজের শীর্ষবিন্দুতে 2023 লিখা থাকবে।

অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। তবে আমরা ২ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-২৩ এ বিজয়ী দুইজন!

ছবি: সাপ্তাহিক সমস্যা-২৩ এর বিজয়ী তালিকা

যারা সমস্যাটির সমাধান করার চেষ্টা করেছো, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি তোমাদের সমস্যা সমাধানের এই চেষ্টা অব্যাহত থাকবে। তোমাদের সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!

(আমাদের অন্যান্য গাণিতিক সমস্যা দেখতে এই লিঙ্কে ক্লিক করুন।)

সাপ্তাহিক সমস্যা-২২ এর সমাধান (Problem Weekly–22 with Solution)

Aug 1, 2023 | Problem Weekly (সাপ্তাহিক সমস্যা)

Problem Weekly-22: Geometric Jami is thinking about a math problem. Therefore, he draws a quadrilateral and two triangles in his notebook. Seeing Jami’s notebook, number-lover Souvik has thought of a geometry-related number problem. The problem is somewhat like this-

Souvik has written five numbers from 1 to 5 once in a circle at the vertices of the above geometric figures, the vertices are denoted as a, b, c, d, and e. And in each segment, he writes a number that determines the sum of the vertices of that segment. For example, the number 11 denotes the sum of the vertices of bcde quadrilateral, this is the same for other shapes as well. Sauvik now erases the numbers inside those circles and asks Jami to find out which number was in the middle circle i.e. in the circle e.

Jami started thinking about the problem. You also start thinking about how to solve this problem.

সমাধান: প্রদত্ত সমস্যা অনুসারে আমরা কয়েকটি সমীকরণ গঠন করতে পারি-

a+b+e = 9 …….(i)
a+e+d = 12 …….(ii)
b+c+d+e = 11 …….(iii)

যেহেতু a, b, c, d, eএই পাঁচটি রাশির মান 1 থেকে 5 এর মধ্যে হবে, আমরা তাহলে লিখতে পারি-

a+b+c+d+e = 1+2+3+4+5 = 15 …….(iv)

এখন সমীকরণ (iii) থেকে আমরা পাই-

b+c+d+e = 11

বা, a+b+c+d+e = 11+a  [উভয়পক্ষে a যোগ করি]

বা, 15 = 11+a  [সমীকরণ (iv) থেকে পাই]

বা, a = 4

প্রদত্ত a এর মান আমরা অন্যান্য সমীকরণে বসিয়ে পাই-

b+e = 5 ……..(v)
e+d = 8 ……..(vi)

এখন যেহেতু a = 4 এবং b+e = 5, তাহলে বলা যায়-

b=2,  e=3  অথবা  e=2,  b=3  হবে

কিন্তু e=2 হতে পারবে না, সেক্ষেত্রে সমীকরণ (vi) অনুযায়ী d=6 হবে যা প্রশ্ন অনুযায়ী অসম্ভব! অর্থাৎ,

b=2,  e=3  হবে

পাশাপাশি,

d=5  এবং  c=1  হবে

সুতরাং, মাঝের বৃত্তে মুছে দেয়া সংখ্যাটি 3 ছিলো! এটাই আমাদের এই সপ্তাহের গাণিতিক সমস্যার উত্তর।

অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। তবে আমরা ১ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-২২ এ বিজয়ী একজন!

ছবি: সাপ্তাহিক সমস্যা-২২ এর বিজয়ী তালিকা

যারা সমস্যাটির সমাধান করার চেষ্টা করেছো, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি তোমাদের সমস্যা সমাধানের এই চেষ্টা অব্যাহত থাকবে। তোমাদের সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!

(আমাদের অন্যান্য গাণিতিক সমস্যা দেখতে এই লিঙ্কে ক্লিক করুন।)

সাপ্তাহিক সমস্যা-২১ এর সমাধান (Problem Weekly–21 with Solution)

Jul 19, 2023 | Problem Weekly (সাপ্তাহিক সমস্যা)

মজার বিষয় হলো, এখানে সমীকরণে অজানা রাশি আছে তিনটি কিন্তু সমীকরণ দেয়া আছে দুইটি! সৌভিক অনেকক্ষণ চিন্তা করে একটা সমাধান বের করেছে, সেটা এরকম-

a = 5, b = 36, c = 56 এবং abc = 10080

আচ্ছা সৌভিকের উত্তর কি সঠিক? আর কোন উত্তর হওয়া সম্ভব এখানে? সম্ভব হলে তুমি কি সেটা বের করতে পারবে? 

Problem Weekly-21: Number-lover Souvik is studying Algebra nowadays. Algebraic equations are quite interesting. Solving all equations requires different ways of thinking. Yesterday Sauvik’s friend asked him to solve an interesting problem. The problem is described here-

a, b, c are three positive integers such that a + b + c = 97  and  [(4a/5) + (5b/6) + (6c/7) = 82]. Find the maximum value of abc.

The interesting thing is that there are three unknowns in the equation but the given equation is only two. Sauvik thought for a long time and came up with a possible solution like below-

a = 5, b = 36, c = 56 and abc = 10080

Well, is Souvik’s answer correct? Is there any other possible solution? If possible, can you figure out the solution(s)?

সমাধান: সমীকরণ দুইটি যথাক্রমে, 

a + b + c = 97 ……….(i)
[(4a/5) + (5b/6) + (6c/7) = 82] ……..(ii)

যেহেতু a, b, c তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, আমরা বলতে পারি-

a সংখ্যাটি 5 দ্বারা বিভাজ্য, b সংখ্যাটি 6 দ্বারা এবং c সংখ্যাটি 7 দ্বারা বিভাজ্য! (ভেবে দেখ তো কেন এটা হবে?)

সমীকরণ (ii) থেকে আমরা বলতে পারি, 5, 6 এবং 7 এর লসাগু (LCM) হচ্ছে 210। তাহলে সমীকরণটিকে লিখা যায়- 

(4a/5) + (5b/6) + (6c/7) = 82

বা, 168a + 175b + 180c = 17220

উপরে আমরা a, b এবং c এর বিভাজ্যতা নিয়ে আলোচনা করেছি। আমরা ধরে নিতে পারি-

 a = 5d, b = 6e এবং c = 7f 

এই মানগুলো আমরা সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই- 

5d + 6e + 7f  = 97 ……….(iii)

আবার, সমীকরণ (ii) এ আগের মানগুলো বসিয়ে পাই-

{(4×5d)/5} + {(5×6e)/6} + {(6×7f)/7} = 82

বা, 4d + 5e + 6f = 82 ……..(iv)

সমীকরণ (iii) থেকে সমীকরণ (iv) বিয়োগ করে পাই-

(5d + 6e + 7f) – (4d + 5e + 6f) = 97 – 82

বা, d + e + f = 15 ……..(v)

সমীকরণ (v) থেকে আমরা এটা নিশ্চিত যে, d,  e এবং  f এর ভিন্ন তিনটি মানের যোগফল 15 হবে। এখানে অনেকগুলো মানই সম্ভব, তবে কোনটি সর্বোচ্চ মান হবে সেটার জন্য আরেকটু সহজ উপায় বের করতে হবে বা আরো কম সংখ্যক মান হিসেব করে উত্তর বের করার চেষ্টা করতে হবে। একটা ভালো উপায় হচ্ছে d,  e এবং  f এর মান হিসেব করার জন্য আরেকটা সমীকরণ বের করা, যাতে করে আমরা আরো নিশ্চিত হয়ে সর্বোচ্চ মানের হিসেব করতে পারি।
এখন সমীকরণ (v) কে 6 দ্বারা গুণ করে তার থেকে সমীকরণ (iv) কে বিয়োগ করে পাই-

(6d + 6e + 6f) – (4d + 5e + 6f) = 90 – 82
বা, 2d + e = 8 

এবার  d,  e এবং f এর সম্ভাব্য মান যা যা হতে পারে, সেগুলো নিচের টেবিলে হিসেব করে দেখা যাক-

দেখা যাচ্ছে মাত্র 3 বার আমরা d, e এবং f এর মান বসিয়েছি এবং abc এর সর্বোচ্চ মান হিসেব করেছি। মূলত, 2d + e = 8 সমীকরণটি আমাদের কাজ সহজ করে দিয়েছে, d এর দ্বিগুণ এবং e এর মানের যোগফল 8 এর বেশি হয় এরকম কোন মান আমাদের হিসেব করা লাগেনি। আচ্ছা, আর কোন মান ধরলে কি এরচেয়ে বেশি গুণফল পাওয়া যেত? চিন্তা করে দেখো তো… 

তাহলে, abc = 15120 মানটি আমাদের এই সপ্তাহের গাণিতিক সমস্যার উত্তর।

অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। তবে আমরা এবার কোন সঠিক উত্তর পাইনি, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-২১ এ কাউকে বিজয়ী ঘোষণা করা যাচ্ছে না!

যারা সমস্যাটির সমাধান করার চেষ্টা করেছো, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি তোমাদের সমস্যা সমাধানের এই চেষ্টা অব্যাহত থাকবে। তোমাদের সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!

(আমাদের অন্যান্য গাণিতিক সমস্যা দেখতে এই লিঙ্কে ক্লিক করুন।)

সাপ্তাহিক সমস্যা-২০ এর সমাধান (Problem Weekly–20 with Solution)

Jul 11, 2023 | Problem Weekly (সাপ্তাহিক সমস্যা)

সাপ্তাহিক সমস্যা-২০: সংখ্যাভাবুক সৌভিক ঈদের ছুটিতে বরাবরের মতোই সংখ্যা নিয়ে চিন্তা-ভাবনা করছে। সে বেশকিছু সংখ্যা তৈরি করেছে যেখানে প্রতিটি অংক হয় ০ না হয় ১, যেমন- ১০১০১০ এরকম একটি সংখ্যা। মজার বিষয় হলো, এই সংখ্যাটি আবার ৬ দ্বারা বিভাজ্য। সৌভিক একইভাবে এরকম আরো অনেকগুলো সংখ্যা খুঁজে বের করার চেষ্টা করলো। সৌভিক সবশেষে ২০টি ভিন্ন সংখ্যা খুঁজে বের করলো যারা নিচের শর্তগুলো মেনে চলে-

১. প্রতিটি সংখ্যা শূন্য (০) অথবা এক (১), এই দুইটি অঙ্ক দিয়ে গঠিত।

২. প্রদত্ত সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য।

৩. সংখ্যাটি ১০০০০০০০০ থেকে ছোট।

উদাহরণ হিসেবে বলা যায়, ১০১০১০ সংখ্যাটি উপরের তিনটি শর্তই মেনে চলে।

আচ্ছা তোমরা কি সৌভিক এর সাথে একমত? এই তিনটি শর্ত মেনে চলে, এমন সংখ্যা কি আসলে ২০টি নাকি কম-বেশি হতে পারে?

Problem Weekly-20: Number-lover Souvik is thinking about numbers as always during the Eid vacation. He is making numbers where each digit is either 0 or 1. For example, 101010 is one of those numbers. Interestingly, this number is divisible by 6. Souvik has tried to find many more such numbers. He eventually finds 20 different numbers that satisfy the following conditions-

1. Each digit of the number consists of zero (o) or one (1) digit.

2. The number is divisible by six.

3. The number is less than 100000000.

For example, the number 101010 satisfies the above three conditions.

Do you agree with Souvik? Are there actually 20 numbers that satisfy these three conditions or is it more or less than the given number?

সমাধান: যেহেতু সংখ্যাটি 6 দ্বারা বিভাজ্য, তাহলে বলা যায় সংখ্যাটিকে অবশ্যই জোড় হতে হবে। আবার সংখ্যাটিতে শুধুমাত্র 1 বা 0 এই অংকগুলো আছে, তাই সংখ্যাটির শেষে অবশ্যই 0 থাকতে হবে।

যেহেতু সংখ্যাটি 6 দ্বারা বিভাজ্য, তাই সংখ্যাটি অবশ্যই  2 এবং 3 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

আমরা জানি, 3 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যার ক্ষেত্রে সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফলকে অবশ্যই 3 দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।

প্রদত্ত শর্তানুসারে, সংখ্যাটি অবশ্যই 100000000 এর চেয়ে ছোট হবে। এখান থেকে আমরা বলতে পারি, সংখ্যাটিতে সর্বোচ্চ 7 টি অশূন্য সংখ্যা বা 1 থাকতে পারবে! (এটা কীভাবে নিশ্চিত হলাম আমরা? কারণ খুঁজে বের করো।)

সংখ্যাটিতে যেহেতু সর্বাধিক 8টি অংক থাকতে পারবে, তাই সংখ্যাটিকে abcdefg0 হিসেবে লিখা যায় যেখানে a, b, c, d, e, f এবং g এর মান 0 অথবা 1 হতে পারে।

এখন আমাদের এরকম সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যাদের অঙ্কের যোগফল 3 অথবা 6। যদি সংখ্যাটিতে 1 অঙ্কটি  6 বার  থাকে, তাহলে 1-কে যেখানে যেখানে বসানো যেতে পারে যেগুলো বের করি-  

    11111100

    11111010

    11110110

    11101110

    11011110

    10111110

    01111110 

এমন সংখ্যা হতে পারে মোট 7 টি! ((এখানে 01111110 সংখ্যাটি সাত অঙ্কের সংখ্যাকে নির্দেশ করছে)

যদি সংখ্যাটিতে 1 অঙ্কটি 3 বার থাকে, তাহলে 1 অঙ্কটিকে যেসব জায়গায় বসানো যেতে পারে সেটা বের করি-

এখানে মোট 35টি সংখ্যা আছে যারা উপরের শর্ত মেনে চলে। তাহলে মোট সংখ্যা হবে- 35 + 7 = 42 টি ।

(বি. দ্র. যারা বিন্যাস সমাবেশ সম্পর্কে জানে, তারা কিন্তু না গুনেই বের করতে পারবে। যেমন: 7C3 = 35 এবং 7C6 = 7)

সুতরাং, 42টি সংখ্যা আছে যারা উপরের তিনটি শর্ত মেনে চলে! এটাই আমাদের এই সপ্তাহের গাণিতিক সমস্যার উত্তর।

অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। শুধুমাত্র ২ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-২০ এ আমাদের বিজয়ী ২ জন!

ছবি: সাপ্তাহিক সমস্যা-২০ এর বিজয়ীদের তালিকা

যারা উত্তর পাঠিয়েছেন, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি আপনাদের সমস্যা সমাধানের এই যাত্রা অব্যাহত থাকবে। সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!

(আমাদের অন্যান্য গাণিতিক সমস্যা দেখতে এই লিঙ্কে ক্লিক করুন।)

সাপ্তাহিক সমস্যা-১৯ এর সমাধান (Problem Weekly–19 with Solution)

Jun 20, 2023 | Problem Weekly (সাপ্তাহিক সমস্যা)

সাপ্তাহিক সমস্যা-১৯: সংখ্যাভাবুক সৌভিক প্রতিদিনের মত আজকে সকালে নিজের খাতায় 1 থেকে 9 পর্যন্ত অঙ্কগুলো ব্যবহার করে বিভিন্ন সংখ্যা তৈরী করছে।  হঠাৎ করে সৌভিক একটা মজার বিষয় লক্ষ করলো; সে নিজের খাতায় তিনটি সংখ্যা লিখেছে এবং এই তিনটি সংখ্যার মধ্যে সবথেকে বড় সংখ্যাটি হল সবচেয়ে ছোট সংখ্যার পাঁচগুণ! আর অপর যে সংখ্যাটি রয়েছে, সেটি সবচেয়ে ছোট সংখ্যাটির তিনগুণ!
সহজে বোঝার সুবিধার্থে বলা যায়, যদি তিনটি সংখ্যা যথাক্রমে a, b, c হয় যেখানে a> b> c, তাহলে, a:b:c = 5:3:1 লিখা যায়। শুধুমাত্র ১ থেকে ৯ – এই নয়টি অঙ্ক একবার করে ব্যবহার করে সৌভিক সংখ্যা তিনটি লিখেছে।
আচ্ছা, তোমরা কি সৌভিকের এই তিনটি সংখ্যা বের করতে পারবে?

Problem Weekly-19: Number-lover Souvik makes different numbers by using the digits from 1 to 9 in his notebook like every day. Suddenly Sauvik noticed something interesting; he wrote three numbers in his notebook. Interestingly, among these three numbers, the largest is five times the smallest. And the other number is three times the smallest number!
To explain the statement clearly, let’s say if three numbers are a, b, and c respectively where a> b> c, then we can say a:b:c = 5:3:1. Using the nine digits from 1 to 9 only once, Sauvik writes these three numbers.
Well, can you figure out these three numbers?

সমাধান: যেহেতু,  a:b:c = 5:3:1 বা a সংখ্যাটি হবে c সংখ্যার পাঁচগুণ, b সংখ্যাটি হবে c সংখ্যার তিনগুণ, এবং ১ থেকে ৯ অঙ্কগুলো একবার করে ব্যবহৃত হয়েছে,  

তাহলে আমরা বলতে পারি যে, c সংখ্যাটি এক অঙ্ক বা দুই অঙ্কের হতে পারবে না, অন্তত তিন অঙ্কের হতে হবে। কারণ c যদি এক অঙ্ক বা দুই অঙ্কের হয়, সেক্ষেত্রে b কিংবা a সর্বোচ্চ তিন অঙ্কের হবে, তখন ৮টি অঙ্কের বেশি ব্যবহার করার সুযোগ থাকবে না। এছাড়া c সংখ্যাটি তিন অঙ্কের বেশিও হতে পারবে না, সেক্ষেত্রে আমাদের শর্ত ভঙ্গ হবে! 

তাহলে আমরা নিশ্চিত যে, c সংখ্যাটি তিন অঙ্কের হবে। এখন c এর শতক স্থানীয় অঙ্কে 1 অঙ্কটি বসাতে হবে, শতক স্থানীয় অঙ্কে 1 বাদে কোন অঙ্ক বসলে বৃহত্তম সংখ্যা a চার অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যায় পরিণত হবে যা শর্ত ভঙ্গ করে! আবার, c এর একক স্থানীয় অঙ্কে কোন জোড় অঙ্ক বসতে পারবে না, কেননা জোড় সংখ্যা বসলে a সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্কটিকে ০ হতে হবে যা প্রদত্ত শর্তের বাইরে।

একইভাবে, c এর একক স্থানীয় অঙ্কে 5 বসতে পারবে না, কেননা  a এর একক স্থানীয় অঙ্ক সেক্ষেত্রে 5 হবে যা সম্ভব না। (কেন বলো তো!)

একই নিয়মে, c এর একক স্থানীয় অঙ্কে 7 বসতে পারবে না, কেননা b এর একক স্থানীয় অঙ্ক 1 হতে পারবে না!

তাহলে বলা যায়, c এর একক স্থানীয় অঙ্কে হয় 3 অথবা 9 অঙ্কটি বসবে।

যদি c এর একক স্থানীয় অঙ্ক 3 হয়, তাহলে b এর একক স্থানীয় অঙ্ক 9 হবে এবং a এর একক স্থানীয় অঙ্ক হবে 5।

আবার, b এর শতক স্থানীয় অঙ্ককে অবশ্যই 3, 4 কিংবা 5 হতে হবে কেননা c এর শতক স্থানীয় অঙ্ক 1।

আগের শর্ত থেকে, যদি c এর একক স্থানীয় অঙ্ক 3 হয়, তাহলে b এর শতক স্থানীয় অঙ্ককে 4 হতে হবে। (ভেবে দেখো কেন এটা হবে!)

সেক্ষেত্রে আমরা যে অঙ্কগুলো ব্যবহার করেছি সেগুলো হলো 1, 3, 4,  5, 9।  বাকি অংকগুলো হলো- 2, 6, 7, 8।

ছবি: c সংখ্যার জন্য় এককের ঘরে 3 অঙ্কটি বসেছে

এখন c এর দশক স্থানীয় অঙ্ক হিসেবে যে অঙ্কগুলো বসতে পারে সেগুলো হলো- 2, 6, 7, 8। কিন্তু এদের কোনোটাই বসতে পারবে না! কারণ c এর দশক স্থানীয় অঙ্ক 2 বা 6 বা 7 বা 8 হলে b এর শতক স্থানীয় অঙ্ক হিসেবে 4 কোনোভাবেই বসতে পারবে না এবং প্রতিবারই এই অঙ্কগুলোর জন্য বাকি সংখ্যাতে একই অঙ্ক একাধিকবার চলে আসে কিংবা ১-৯ পর্যন্ত সবগুলো অঙ্ক একবার করে ব্যবহারের সুযোগ থাকে না। অর্থাৎ, c এর একক স্থানীয় অঙ্কে 3 বসানো যাবে না।

তাহলে, c এর একক স্থানীয় জায়গায় ৯ অঙ্কটিই বসবে! সেক্ষেত্রে, b এর একক স্থানীয় অঙ্কে 7 বসবে এবং a সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্কে 5 বসবে।

ছবি: c সংখ্যার জন্য় এককের ঘরে 9 অঙ্কটি বসেছে

কিন্তু আমরা শুধুমাত্র c এর দশক স্থানীয় অঙ্কে 2 বসিয়ে সমাধান পাবো, বাকি অঙ্কগুলোর জন্য সমাধান আসবে না, কোন না কোন শর্ত অমান্য হবেই।
(তুমি চাইলে হিসেব করে দেখতে পারো আমাদের উত্তর ঠিক না ভুল হয়েছে!)

ছবি: c, b এবং a সংখ্যা তিনটির সঠিক মান

সুতরাং, c এর মান হবে 129, b এর মান হবে 387, এবং a এর মান হবে 645 । এটাই আমাদের এই এই সপ্তাহের গাণিতিক সমস্যার উত্তর!

অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। শুধুমাত্র ১ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-১৯ এ আমাদের বিজয়ী ১ জন!

ছবি: সাপ্তাহিক সমস্যা-১৯ এর বিজয়ী তালিকা

যারা উত্তর পাঠিয়েছেন, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি আপনাদের সমস্যা সমাধানের এই যাত্রা অব্যাহত থাকবে। সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!

(আমাদের অন্যান্য গাণিতিক সমস্যা দেখতে এই লিঙ্কে ক্লিক করুন।) 

সাপ্তাহিক সমস্যা-১৮ এর সমাধান (Problem Weekly–18 with Solution)

Jun 13, 2023 | Problem Weekly (সাপ্তাহিক সমস্যা)

সাপ্তাহিক সমস্যা-১৮: সংখ্যাভাবুক সৌভিক প্রতিদিনের মত নিজের খাতায় বিভিন্ন সংখ্যা লিখে চিন্তা-ভাবনা করছে। আজকে সে মৌলিক সংখ্যার যে লুকায়িত সৌন্দর্য আছে, সেটি নিয়ে ভাবছে। মৌলিক সংখ্যা হলো সেসব সংখ্যা যাদেরকে শুধুমাত্র 1 এবং ঐ সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায়। যেমন: 3, 5, 11 ইত্যাদি। মৌলিক সংখ্যা নিয়ে কিছু মজার তথ্য আছে যেমন: 2 একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা, সবচেয়ে বড় মৌলিক সংখ্যা নিশ্চিত করে বলা যায় না, টেলিযোগাযোগ প্রযুক্তিতে মৌলিক সংখ্যা ব্যবহার করা হয় ইত্যাদি।

যাই হোক, সৌভিক চিন্তা করতে করতে খাতায় দুইটি মৌলিক সংখ্যা লিখলো। সে তখন মজার একটা ব্যাপার লক্ষ করলো। বোঝার সুবিধার্থে ধরা যাক, সৌভিক খাতায় a, b দুইটি মৌলিক সংখ্যা লিখেছে। মজার ব্যাপার, a+b ও একটি মৌলিক সংখ্যা, 2a-1 এবং 2b-1 এই দুইটি রাশিও মৌলিক সংখ্যা! অর্থাৎ a, b, a+b, 2b-1, 2a-1 এই পাঁচটিই মৌলিক সংখ্যা। আচ্ছা বলতো, এরকম বৈশিষ্ট্য সৌভিক কয়বার দেখতে পারবে? উত্তরের স্বপক্ষে ভালো যুক্তি দিতে হবে কিন্তু!

Problem Weekly-18:Number-lover Souvik is thinking about different numbers as usual. Today he is thinking about the hidden beauty of prime numbers. Prime numbers are those numbers that can only be divided by 1, and that number. For example 3, 5, 11, etc. Some properties of prime numbers are such as 2 is the only even prime number, and the largest prime number cannot be said with certainty, these numbers are used in the telecommunication sector, etc.

Souvik noticed an interesting fact when he wrote two prime numbers in his notebook. For understanding, let’s say that Souvik writes two prime numbers a,b in his notebook. An interesting fact is that a+b is a prime number, and 2a-1 and 2b-1 are also prime numbers. It means a, b, a+b, 2b-1, 2a-1  all five are prime numbers. Well, how many times can Souvik see such an incident? You must answer with strong logic in favor of your statement!

সমাধান: শর্তমতে, a, b, a+b, 2b-1, 2a-1 এই পাঁচটি সংখ্যাই মৌলিক সংখ্যা হতে হবে।

এখন a, b এই দুইটি যদি বিজোড় সংখ্যা হয়, তাহলে a+b অবশ্যই জোড় সংখ্যা হতে হবে।

কিন্তু a+b জোড় মৌলিক সংখ্যা হলে a+b = 2 হতে হবে যেটা অসম্ভব!

তাহলে বলা যায়, a, b এর মধ্যে একটি জোড় এবং একটি বিজোড় মৌলিক সংখ্যা হতে হবে। এর মানে একটির মান হবে 2।

ধরি, a = 2

তাহলে, 2a – 1 = 2*2 – 1 = 3 যা একটি মৌলিক সংখ্যা।

এবার আমাদেরকে b এর এমন একটি মান বের করতে হবে যেন b, b+2, 2b-1 এই তিনটি সংখ্যাই মৌলিক হয়।

যেহেতু b একটি বিজোড় সংখ্যা এবং b, b+2 দুইটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যা, তাহলে ধরে নিই, b এর মান 3 এর চেয়ে বেশী।

এখান থেকে আমরা বলতে পারি, b কে 6 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 5 থাকবে এবং b+2 কে 6 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 1 থাকবে।

অর্থাৎ, b কে আমরা 6k-1 আকারে লিখতে পারবো।

[ নোট: 2 এবং 3 বাদে যে কোনো বিজোড় মৌলিক সংখ্যাকে 6k+1 বা 6k-1 আকারে লেখা যায়। যেমন: 11 = 6*2-1, 43 = 6*7+1 ইত্যাদি ]

যদি b = 6k-1 হয়, তাহলে 2b-1 কে আমরা লিখতে পারি-

2b-1 = 2(6k-1) -1 = 12k-2-1= 12k-3 =3(4k-1)

অর্থাৎ আমরা বলতে পারি, 2b-1 সংখ্যাটি 3 দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি b এর মান 3 এর চেয়ে বড় হয়।

যদি b এর মান 3 হয় তাহলে-

a=2, যা একটি মৌলিক সংখ্যা

b=3, যা একটি মৌলিক সংখ্যা

2b-1 = 2*3-1 = 5, যা একটি মৌলিক সংখ্যা

a+b = 2+3 = 5, যা একটি মৌলিক সংখ্যা

2a-1 = 2*2-1 = 3, যা একটি মৌলিক সংখ্যা

সুতরাং, a = 2 এবং b = 3 অথবা a = 3 এবং b = 2 এটি দুইটিই সম্ভব্য সমাধান।

অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। মোট ২ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি আমরা, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-১৮ এ আমাদের মোট বিজয়ী ২ জন!

ছবি: সাপ্তাহিক সমস্যা-১৮ এর বিজয়ীদের তালিকা

যারা উত্তর পাঠিয়েছেন, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি আপনাদের সমস্যা সমাধানের এই যাত্রা অব্যাহত থাকবে। সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!

(আমাদের অন্যান্য গাণিতিক সমস্যা দেখতে এই লিঙ্কে ক্লিক করুন।)