May 23, 2023 | Problem Weekly (সাপ্তাহিক সমস্যা)
সাপ্তাহিক সমস্যা-১৫: সংখ্যাপ্রেমী সৌভিক তার খাতায় ৪ অঙ্কের একটি সংখ্যা লিখে রেখেছিলো। তারপর ,জামি সৌভিকের লিখা সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল নিজের খাতায় লিখে ফেললো। সবশেষে, দীপু জামির লিখা সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল হিসেব করে নিজের খাতায় লিখে ফেললো। তুমি কি বলতে পারবে, দীপু যে সংখ্যাটি খাতায় লিখেছে সেটি সর্বোচ্চ কত হতে পারে?
Problem Weekly-15: Number-lover Souvik wrote down a 4-digit number in this notebook. Then, Jami wrote down the sum of the digits of Souvik’s number in his paper. Finally, Dipu wrote down the sum of the digits of Jami’s number. Can you determine the greatest possible number that Dipu could have written down in his notebook?
সমাধান: আমাদের মূল টার্গেট হলো দিপু যে সংখ্যাটি লিখেছে, সেটি সর্বোচ্চ কত হতে পারে তা বের করা।
প্রদত্ত তথ্যানুসারে, সৌভিক একটি চার অঙ্কের সংখ্যা লিখেছে এবং জামি সৌভিকের লিখা সংখ্যার অংকগুলোর যোগফল খাতায় লিখেছে।
এখন, সৌভিক সর্বোচ্চ যে সংখ্যাটি লিখতে পারে সেটি হলো 9999, সর্বনিম্ন যে সংখ্যাটি লিখতে পারে সেটি হলো 1000।
তাহলে আমরা বলতে পারি, জামি অঙ্কের যোগফল হিসেবে সর্বোচ্চ যা লিখতে পারে তা হলো, 9+9+9+9 = 36
এবং সর্বনিম্ন যে যোগফল লিখতে পারে সেটি হলো, 1+0+0+0 = 1।
অর্থাৎ, জামি 1 থেকে 36 এর মধ্যে যোগফল হিসেবে যে কোন একটি সংখ্যা লিখতে পারে, যদিও তা সম্পূর্ণ নির্ভর করবে সৌভিক যে সংখ্যা লিখেছে তার উপর।
ধরা যাক, সৌভিক 9999 লিখেছে এবং জামি যোগফল লিখেছে 36। তাহলে, দিপু অঙ্কের যোগফল হিসেবে যে সংখ্যাটি লিখবে- 3 +6 = 9
কিন্ত মজার বিষয় হলো, এটিই কিন্তু দিপুর জন্য সর্বোচ্চ সংখ্যা না!
একটু ভালোভাবে চিন্তা করলে দেখা যাবে, 1 থেকে 36 এর মধ্যে যে সংখ্যাগুলো আছে, তাদের অঙ্কের যোগফল 9 এর চেয়েও বেশি হওয়া সম্ভব!
যেমন: 27 বা 18 এর ক্ষেত্রে 1+7 = 1+8 = 9 হয়, আবার 28 বা 19 এর ক্ষেত্রে 2+8 = 1+9 = 10 পাওয়া যায়।
এভাবে চিন্তা করলে আমরা দেখবো, 29 এর ক্ষেত্রে অঙ্কের যোগফল সর্বোচ্চ হয় বা 2+9 = 11 হচ্ছে দিপুর লিখা সর্বোচ্চ সংখ্যা, এরচেয়ে বড় সংখ্যা হওয়া সম্ভব না।
তাহলে হিসেব কী দাঁড়াচ্ছে?
দিপু লিখবে = 2+9 = 11
জামি সম্ভাব্য যা লিখতে পারে = 9+9+9+2 = 5+7+8+9 = 29
সৌভিক সম্ভাব্য যা লিখতে পারে = 9992 কিংবা 5789
আজকের আলোচনা একটি সম্পূরক প্রশ্ন দিয়ে শেষ করতে চাই। প্রশ্নটি হলো- চার অঙ্কের কয়টি সংখ্যার জন্য জামি অঙ্কের যোগফল হিসেবে ২৯ লিখতে পারবে? এটা কি বের করা সম্ভব? সম্ভব হলে কমেন্টে তোমার উত্তর জানাতে ভুলবে না কিন্তু!
অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। মোট ২ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি আমরা, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-১৫ এ আমাদের মোট বিজয়ী ২ জন!
ছবি: সাপ্তাহিক সমস্যা-১৫ এর বিজয়ীদের তালিকা
যারা উত্তর পাঠিয়েছেন, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি আপনাদের সমস্যা সমাধানের এই যাত্রা অব্যাহত থাকবে। সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!
(আমাদের অন্যান্য গাণিতিক সমস্যা দেখতে এই লিঙ্কে ক্লিক করুন।)
May 17, 2023 | Problem Weekly (সাপ্তাহিক সমস্যা)
সাপ্তাহিক সমস্যা-১৪: আপনি কি জাদু বর্গ বা ম্যাজিক স্কয়ার সম্পর্কে আগে কখনো শুনেছেন? একটি ম্যাজিক বর্গে বেশ কয়েকটি পূর্ণসংখ্যা এমনভাবে থাকে যেন প্রতিটি সারি, কলাম এবং প্রধান কর্ণ বরাবর অবস্থিত সংখ্যাগুলোর যোগফল একই থাকে! আমাদের আজকের আলোচ্য ম্যাজিক বর্গে প্রথম 9টি ধনাত্মক বিজোড় পূর্ণসংখ্যা অর্থাৎ ১, ৩, ৫, ৭, ৯, ১১, ১৩, ১৫, ১৭ উপরের ৩ × ৩ গ্রিডে এমনভাবে স্থাপন করা হয়েছে যাতে প্রতিটি সারি, কলাম এবং প্রধান কর্ণ বরাবর সংখ্যার যোগফল একই হয়। হিসেবের সুবিধার্থে ম্যাজিক বর্গের চারটি সংখ্যা উল্লেখ করা হয়েছে। বাকি পাঁচটি সংখ্যা A, B, C, D এবং E অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে যেগুলো খুঁজে বের করতে হবে।
তাহলে বলুন তো B+C+E এর মান কত হবে?
Problem Weekly-14: Have you ever heard about the magic square? Let’s discuss the idea first: A magic square contains a number of integers arranged in a square so that the sum of the numbers is the same in each row, column, and main diagonal. In our today’s problem of the magic square, the first 9 positive odd integers- 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 are placed in the following 3 × 3 grid in such a way that the sum of the numbers in each row, column and main diagonal is the same. Four numbers are shown for you and the other five are represented by the letters A, B, C, D, and E, which need to be determined.
Determine the value of B+C+E.
সমাধান: যেহেতু ম্যাজিক স্কয়ারে পাশাপাশি কিংবা উপর নিচ কিংবা কোণাকুণি সকল সংখ্যার যোগফল একই, সেহেতু আমরা বলতে পারি-
A+5+B = C+D+17 = 11+13+E = A+C+11 = 5+D+13 = B+17+E = A+D+E = B+D+11
এখন, 1 থেকে 17 পর্যন্ত সব বিজোড় সংখ্যা যোগফল হলো 81। অর্থাৎ,
1+3+5+7+9+11+13+15+17 = 81
এখান থেকে আমরা বলতে পারি, প্রদত্ত ম্যাজিক স্কয়ারের পাশাপাশি কিংবা উপর নিচ বা কোণাকুণি সংখ্যাগুলোর যোগফল হবে, 81/3 বা 27 ।
তাহলে আমরা লিখতে পারি,
A+5+B = 27
C+D+17 = 27
11+13+E = 27
A+C+11 = 27
5+D+13 = 27
B+17+E = 27
A+D+E = 27
B+D+11 = 27
এখান থেকে আমরা খুব সহজে সমীকরণ সমাধানের মাধ্যমে B, C এবং E এর মান বের করতে পারবো। যেকোন একটি দিয়ে শুরু করি-
11+13+E = 27
বা, E=27 – (11+13)
বা, E = 3
একইভাবে,
5+D+13 = 27
বা, D = 27 – (13+5) = 9
বা, D = 9
এবং,
B+17+E = 27
বা, B= 27-17- 3 [যেহেতু, E=3]
বা, B = 7
এবং,
C+D+17 = 27
বা, C=27-17-9 [যেহেতু, D=9]
বা, C = 1
সুতরাং, B+C+E এর মান হবে = 7+1+3 = 11
অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছেন, আপনাদের স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। মোট ৩ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি আমরা, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-১৪ এ আমাদের মোট বিজয়ী ৩ জন!
যারা উত্তর পাঠিয়েছেন, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি আপনাদের সমস্যা সমাধানের এই যাত্রা অব্যাহত থাকবে। সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!
(আমাদের অন্যান্য গাণিতিক সমস্যা দেখতে এই লিঙ্কে ক্লিক করুন।)
May 9, 2023 | Problem Weekly (সাপ্তাহিক সমস্যা)
সাপ্তাহিক সমস্যা-১৩: নীচের 5টি প্রশ্নের প্রতিটির উত্তর 1 থেকে 5 পর্যন্ত আলাদা পূর্ণ সংখ্যা দিয়ে দেওয়া হয়েছে। আপনি কি বের করতে পারেন, প্রতিটি প্রশ্নের উত্তরের সাথে কোন সংখ্যাটি যায়?
প্রশ্ন ১: এই সবগুলো প্রশ্নের কয়টি উত্তর আছে যা একটি সমকোণী ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য হতে পারে না, যদি প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 1 থেকে 5 পর্যন্ত পূর্ণসংখ্যা হয়?
প্রশ্ন ২: এই সবগুলো প্রশ্নের কয়টি উত্তর আছে যার ফ্যাক্টরিয়াল এর শেষে অশুন্য অঙ্ক রয়েছে?
প্রশ্ন ৩: এই সবগুলো প্রশ্নের কয়টি উত্তর আছে যা পূর্ণসংখ্যা?
প্রশ্ন ৪: এই সবগুলো প্রশ্নের কয়টি উত্তর আছে যা বিজোড়?
প্রশ্ন ৫: এই সবগুলো প্রশ্নের কয়টি উত্তর আছে যা বর্গ এবং ঘন সংখ্যা উভয়ই?
Problem Weekly-13: Each of the 5 questions below is answered by a different number from 1 to 5. Can you figure out which number goes with each question?
Q1. How many of these questions have an answer that couldn’t be the length of one side of a right triangle, if each side’s length is an integer from 1 to 5?
Q2. How many of these questions have an answer whose factorial ends in a non-zero digit?
Q3. How many of these questions have an answer which is an integer
Q4. How many of these questions have an answer which is odd?
Q5. How many of these questions have an answer which is both a square and cube number?
সমাধান: প্রদত্ত প্রশ্নানুসারে, এখানে পাঁচটি প্রশ্ন আছে এবং প্রতিটি উত্তরের ক্ষেত্রে ১ থেকে ৫ এর মধ্যে পূর্ণ সংখ্যাগুলোই হবে।
প্রশ্ন-১ এর উত্তর হবে 3। কারণ সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 3, 4 কিংবা 5 হতে পারবে, কিন্তু 1 কিংবা 2 কখনোই হতে পারবে না (পীথাগোরাসের উপপাদ্য দিয়ে চাইলে আমরা প্রমাণ করতে পারি, চেষ্টা করে দেখা যাক তাহলে!)
প্রশ্ন-২ বেশ মজার। ফ্যাক্টরিয়াল কে আমরা এভাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারি যে, কোন সংখ্যা n এর ফ্যাক্টোরিয়াল বলতে n থেকে শুরু করে 1 পর্যন্ত সব পূর্ণসংখ্যার গুণফলকে নির্দেশ করে। অর্থাৎ, n! = n × (n-1) × (n-2)….. 3 × 2 × 1
তাহলে, 5!= 5×4× 3× 2×1 = 120
4! = 4× 3×2×1 = 24
3! = 3×2×1 = 6
2! = 2×1 = 2
1! = 1
তাহলে দেখা যাচ্ছে যে, শুধুমাত্র ১টি সংখ্যার ফ্যাক্টরিয়ালের শেষে শূন্য আছে। কাজেই, এই প্রশ্নের উত্তর হবে ৪টি।
প্রশ্ন-৩ ১, ২, ৩, ৪ এবং ৫ এই পাঁচটি সংখ্যাই যেহেতু পূর্ণসংখ্যা, তাই এই প্রশ্নের উত্তর হবে ৫টি।
প্রশ্ন-৪ ১ থেকে ৫ এর মধ্যে বিজোড় সংখ্যা আছে ৩ টি- ১, ৩ এবং ৫। কাজেই, এই প্রশ্নের উত্তর হবে ৩টি।
প্রশ্ন-৫ ১ থেকে ৫ এর মধ্যে এরকম একটি সংখ্যাই আছে যা একইসাথে বর্গ সংখ্যা এবং ঘন সংখ্যা। সংখ্যাটি হচ্ছে ১ । তাই, এই প্রশ্নের উত্তর হবে ১টি।
অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছেন, আপনাদের স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। মোট ৩ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি আমরা, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-১৩ এ আমাদের মোট বিজয়ী ৩ জন!
যারা উত্তর পাঠিয়েছেন, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি আপনাদের সমস্যা সমাধানের এই যাত্রা অব্যাহত থাকবে। সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!
(আমাদের অন্যান্য গাণিতিক সমস্যা দেখতে এই লিঙ্কে ক্লিক করুন।)
Apr 30, 2023 | Problem Weekly (সাপ্তাহিক সমস্যা)
সাপ্তাহিক সমস্যা-১২: সংখ্যাভাবুক সৌভিক, জ্যামিতিক জামি এবং আমাদের সবার পরিচিত শান্ত দৌড় প্রতিযোগিতায় অংশগ্রহণ করছে। ২০০ মিটার এর দৌড় প্রতিযোগিতা। শান্ত যখন ২০০ মিটার দৌড় প্রতিযোগিতায় শেষ করে তখনও সৌভিক শান্তর চেয়ে 20 মিটার পিছনে এবং জামি শান্তর চেয়ে 29 মিটার পিছনে আছে।
এখন যদি জামি এবং সৌভিক দুইজনই আগের মত একই বেগে দৌড়াতে থাকে, তাহলে সৌভিক যখন দৌড় প্রতিযোগিতা শেষ করবে তখন জামি ঠিক কত পিছনে থাকবে?
Problem Weekly-12: Number Lover Souvik, Geometric Jami, and our known character Shanto compete in a 200m race. When Shanto finishes the 200m race, Sauvik is still 20 meters behind Shanta and Jami is 29 meters behind Shanta.
Now if both Jami and Sauvik continue to run at the same speed as before, how far behind will Jami be when Sauvik finishes the race?
সমাধান: শান্ত যখন 200 মিটার দৌড় প্রতিযোগিতা শেষ করে, তখন সৌভিক শান্ত এর চেয়ে 20 মিটার পিছনে থাকে।
অর্থাৎ, সৌভিক তখন (200-20) বা 180 মিটার পথ অতিক্রম করেছে।
একইভাবে, শান্ত যখন 200 মিটার দৌড় প্রতিযোগিতা শেষ করে, তখন জামি শান্ত এর চেয়ে 29 মিটার পিছনে থাকে।
অর্থাৎ, জামি তখন (200-29) বা 171 মিটার পথ অতিক্রম করেছে।
প্রদত্ত বর্ণনা অনুসারে, জামি এবং সৌভিক দুইজনই শান্তর দৌড় শেষ হওয়ার পর আগের মত একই বেগে দৌড়াতে থাকে। তাহলে আমরা ঐকিক নিয়মের মাধ্যমে সৌভিকের দৌড় শেষ হলে জামি ঠিক কত পিছনে থাকবে, সেটি বের করতে ফেলতে পারি।
ছবি: দৌড় প্রতিযোগিতায় শান্ত, সৌভিক ও জামির অবস্থান
ঐকিক নিয়মানুসারে,
সৌভিক যখন 180 মিটার অতিক্রম করে, তখন জামি অতিক্রম করে 171 মিটার
সৌভিক যখন 1 মিটার অতিক্রম করে, তখন জামি অতিক্রম করে (171/180) মিটার
সৌভিক যখন 200 মিটার অতিক্রম করে, তখন জামি অতিক্রম করে [(171×200)/180] বা 190 মিটার
সুতরাং, জামি সৌভিকের চেয়ে (200 – 190) বা 10 মিটার পিছনে থেকে দৌড় শেষ করবে!
এটাই আমাদের গাণিতিক সমস্যার উত্তর। অনেকেই আমাদের কাছে এই সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছেন, আপনাদের স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। মোট ২ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি আমরা, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-১২ এ আমাদের মোট বিজয়ী ২ জন!
যারা উত্তর পাঠিয়েছেন, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি আপনাদের সমস্যা সমাধানের এই যাত্রা অব্যাহত থাকবে। সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!
(আমাদের অন্যান্য গাণিতিক সমস্যা দেখতে এই লিঙ্কে ক্লিক করুন।)
Jan 18, 2023 | Problem Weekly (সাপ্তাহিক সমস্যা)
সাপ্তাহিক সমস্যা-১১: জ্যামিতিক জামি তার বোর্ডে কয়েকটি বিন্দু আঁকলো। বিন্দুগুলো গ্রিড পেপারের মত করে সাজানো আছে। জামি এই বিন্দুগুলোর মধ্যে থেকে প্রতিবার চারটি করে বিন্দু নির্বাচিত করে কয়েকটি চতুর্ভুজ অঙ্কন করলো। এই চতুর্ভুজগুলো বিভিন্ন ধরণের, যেমন: কোনটা দেখতে আয়তের মত, আবার কোনটা দেখতে ট্রাপিজিয়ামের মত, কোনটা দেখতে বর্গক্ষেত্রের মতো।
আচ্ছা বলো তো, এই চতুর্ভুজ গুলোর মধ্যে কতটি বর্গক্ষেত্র পাওয়া যাবে?
Problem Weekly-11: Our known guy, Geocentric Jami, drew a few dots on his board. The dots are arranged like grid paper. Jami now selected any four of these points once at a time and, drew some quadrilaterals. These quadrilaterals are of different types, such as a rectangle, trapezium, or a square.
Well, can you tell us how many of them will be squares?
সমাধান: সর্বপ্রথম আমরা খুঁজে দেখি, কোন কোন বাহু বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্র এই বিন্দুগুলো যোগ করে তৈরী করা যাবে। একটু খেয়াল করলে দেখবে যে,
কিছু বর্গক্ষেত্র আছে যেখানে বিন্দুগুলো সোজাসুজি যোগ করলেই খুঁজে পাওয়া যাবে, আবার কিছু বর্গক্ষেত্র থাকবে যেগুলো আড়াআড়ি বা বাঁকাভাবে যোগ করলে পাওয়া যাবে। (আড়াআড়ি বোঝার জন্য ঘাড় একটু কাত করে নিতে হবে!)
হিসেবের সুবিধার্থে, আমরা পাশাপাশি দুইটি বিন্দুর দুরত্ব 1 একক ধরে নেই। তাহলে হিসেব করে দেখি, আমরা কয়টা বর্গক্ষেত্র পাবো। এক্ষেত্রে, মোট 16 টি এরকম বর্গক্ষেত্র পাওয়া যাবে। (মিলিয়ে দেখো তো হিসেব ঠিক হয়েছে কি না !)
এবার, আমরা একটি ছক আকারে দেখি মোট কয়টি বর্গক্ষেত্র পাওয়া যাবে-
|
বর্গক্ষেত্রের ধরণ
|
বাহুর দৈর্ঘ্য
|
এরূপ বর্গক্ষেত্রের সংখ্যা
|
|
সোজাসুজি
|
১ একক
|
১৬
|
|
২ একক
|
৯
|
|
৩ একক
|
৪
|
|
৪ একক
|
১
|
|
একটু বাঁকা/
ঘাড় কাত করতে হবে
|
√২ একক*
|
৯
|
|
√৫ একক*
|
৮
|
|
√১০ একক*
|
২
|
|
√৮ একক*
|
১
|
|
মোট
|
৫০
|
(**এই দৈর্ঘ্য গুলো কিভাবে পেলাম সেটির জন্য আমাদেরকে পীথাগোরাসের উপপাদ্য জানতে হবে!)
৫০টি বর্গক্ষেত্রের সমাধান ভালোভাবে বুঝতে নিচের এনিমেশনটি দেখতে পারো-
এটাই আমাদের এ সপ্তাহের গাণিতিক সমস্যার উত্তর। অনেকেই আমাদের কাছে এই সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছেন, আপনাদের স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। মোট ২ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি আমরা, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-১১ এ আমাদের মোট বিজয়ী ২ জন!
যারা উত্তর পাঠিয়েছেন, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি আপনাদের সমস্যা সমাধানের এই যাত্রা অব্যাহত থাকবে।
সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!
(আমাদের অন্যান্য গাণিতিক সমস্যা দেখতে এই লিঙ্কে ক্লিক করুন।)
