সাপ্তাহিক সমস্যা-২৬: সংখ্যাভাবুক সৌভিক বিভিন্ন সংখ্যার বৈশিষ্ট্য নিয়ে ভাবছে, যেমন মৌলিক সংখ্যা কী বা যৌগিক সংখ্যা কোনগুলো এসব। উদাহরণ হিসেবে বলা যায়- ৫ একটি মৌলিক সংখ্যা, ৬ হলো যৌগিক সংখ্যা। আবার, ২ হলো একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা! আরেকটা মজার বিষয় হলো, সকল বিজোড় সংখ্যা কিন্তু মৌলিক সংখ্যা না। অর্থাৎ ২ এর চেয়ে বড় যেকোন মৌলিক সংখ্যা বিজোড় হবেই, তবে বিজোড় হলেই সেটি মৌলিক হবে এরকম সবসময় সত্যি না। ব্যাপারটা বেশ মজার তাই না!
আজকে সকালে সৌভিক বিভিন্ন জোড় সংখ্যাকে দুইটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল হিসেবে লেখার চেষ্টা করছে। যেমন:
১৮ = ৯+৯
২০ = ১৩+৭ = ১১+৯ = ৫+১৫
১৪ = ১১+৩ = ৯+৫ = ৭+৭
সৌভিক হঠাৎ করে একটা ব্যাপার খেয়াল করলো- কিছু কিছু জোড় সংখ্যা আছে যাদেরকে দুইটি বিজোড় যৌগিক সংখ্যার যোগফল হিসেবে লেখা যায় না! যেমন: ৮ কিংবা ১৪। সৌভিক উৎসাহী হয়ে এরূপ কতগুলো জোড় সংখ্যা আছে, সেগুলো খুঁজে বের করা শুরু করলো। তোমরাও চাইলে সৌভিকের সাথে সাথে এই সমস্যাটি নিয়ে ভাবতে পারো-
“ এমন কতগুলো ধনাত্মক জোড় সংখ্যা আছে, যাদেরকে দুইটি বিজোড় যৌগিক সংখ্যার যোগফল আকারে প্রকাশ করা যায় না?”
Problem Weekly-26: Number-lover Souvik is thinking about the properties of different numbers, like prime or composite numbers. For example, 5 is a prime number, and 6 is a composite number. Again, 2 is the only even prime number. Another interesting fact is that all odd numbers are not prime numbers. To elaborate on this we can say, that any prime number greater than 2 must be an odd number but an odd number may or may not be a prime number! Quite interesting, isn’t it?
However, today Souvik is trying to write different even numbers as the sum of two odd numbers. For example,
18 = 9 + 9
20=13+7=11+9=5+15
14=11+3=9+5=7+7
Sauvik suddenly noticed that some even numbers cannot be written as the sum of two odd composite numbers, like 8 or 14. Souvik has become curious to find out if there exist other even numbers too. You can also think of this problem like Souvik-
“How many positive even numbers are there that cannot be expressed as the sum of two odd composite numbers?”
সমাধান: শুরুতে আমরা কয়েকটি ছোট সংখ্যা নিয়ে চিন্তা করি। যেমন : 40 পর্যন্ত যৌগিক বিজোড় পূর্ণসংখ্যা হল-
9, 5, 21, 25, 27, 33, 35, 39
এখন শর্তমতে, এই সংখ্যাগুলোর যোগফল জোড়ায় নিলে এবং যোগফলের পুনরাবৃত্তি বা 50 এর উপরে মান বাদ দিয়ে হিসেব করে আমরা পাই-
9 + 9 = 18
9 + 15 = 24
9 + 21 = 30
9 + 25 = 34
9 + 27 = 36
9 + 33 = 42
9 + 35 = 44
9 + 39 = 48
15 + 25 = 40
15 + 35 = 50
21 + 25 = 46
উপরের তালিকা থেকে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, 40 এর ছোট ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য নিম্নের 14টি জোড় সংখ্যাকে আমরা দুইটি বিজোড় যৌগিক সংখ্যার যোগফল আকারে লিখতে পারি না-
2, 4, 6, 8,10, 12, 14, 16, 20, 22, 26, 28, 32, 38
মজার ব্যাপার হলো, ৪০ এর চেয়ে বড় যেকোন জোড় সংখ্যাকে আসলে দুইটি যৌগিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল আকারে কিন্তু প্রকাশ করা যায়! কিছু উদাহরণ চিন্তা করা যাক-
40 = 15 + 25
42 = 9 + 33
44 = 9 + 35
আমরা 44 এর চেয়ে বড় যেকোন জোড় সংখ্যাকে দুইটি সংখ্যার যোগফল আকারে লিখতে পারি যার একটি হবে 6 এর গুণিতক, অপর সংখ্যা হবে 40 বা 42 বা 44 এর মধ্যে যে কোন একটি।
আরেকভাবে বলা যায়, 44 এর চেয়ে বড় যেকোন জোড় সংখ্যাকে আমরা 6 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ পাবো যথাক্রমে 0, 2, 4 এর মধ্যে যে কোন একটি। যেমন:
56 কে 6 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকবে 2
58 কে 6 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকবে 4
60 কে 6 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকবে 0
তাহলে আমরা এই সংখ্যাগুলো এভাবে লিখতে পারি-
56 = 44 + 12
58 = 40 + 18
60 = 42 + 18
তাহলে আমরা 44 এর চেয়ে বড় যে কোন জোড় সংখ্যাকে এভাবে লিখতে পারি-
6k+40 বা 6k+42 বা 6k+44
এখন, এই পদগুলোকে আমরা চাইলে এভাবেও লিখতে পারি-
6k+40 = 6k+15+25 = 3(2k+5) + 25
6k+42 = 6k+9+33 = 3(2k+3) +33
6k+44 = 6k+9+35 = 3(2k+3) +35
এখন (2k+3) বা (2k+5) সর্বদা বিজোড় সংখ্যা, তাই 3(2k+5) এবং 3(2k+3) অবশ্যই বিজোড় সংখ্যা হবে।
তাহলে আমরা প্রমাণ করতে পারলাম যে, 44 এর চেয়ে বড় যেকোন জোড় সংখ্যাকে আসলে দুইটি যৌগিক সংখ্যার যোগফল আকারে লেখা যায়!
তাহলে, মোট 14টি সংখ্যা আছে যাদেরকে দুইটি বিজোড় যৌগিক সংখ্যার যোগফল হিসেবে লিখা যায় না। এটাই আমাদের সাপ্তাহিক সমস্যা-২৬ এর উত্তর।
অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। তবে আমরা ১ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-২৬ এ বিজয়ী একজন!
ছবি: সাপ্তাহিক সমস্যা-২৬ এর বিজয়ী তালিকা
যারা সমস্যাটির সমাধান করার চেষ্টা করেছো, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি তোমাদের সমস্যা সমাধানের এই চেষ্টা অব্যাহত থাকবে। তোমাদের সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!
(আমাদের অন্যান্য গাণিতিক সমস্যা দেখতে এই লিঙ্কে ক্লিক করুন।)