সাপ্তাহিক সমস্যা-২০: সংখ্যাভাবুক সৌভিক ঈদের ছুটিতে বরাবরের মতোই সংখ্যা নিয়ে চিন্তা-ভাবনা করছে। সে বেশকিছু সংখ্যা তৈরি করেছে যেখানে প্রতিটি অংক হয় ০ না হয় ১, যেমন- ১০১০১০ এরকম একটি সংখ্যা। মজার বিষয় হলো, এই সংখ্যাটি আবার ৬ দ্বারা বিভাজ্য। সৌভিক একইভাবে এরকম আরো অনেকগুলো সংখ্যা খুঁজে বের করার চেষ্টা করলো। সৌভিক সবশেষে ২০টি ভিন্ন সংখ্যা খুঁজে বের করলো যারা নিচের শর্তগুলো মেনে চলে-
১. প্রতিটি সংখ্যা শূন্য (০) অথবা এক (১), এই দুইটি অঙ্ক দিয়ে গঠিত।
২. প্রদত্ত সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য।
৩. সংখ্যাটি ১০০০০০০০০ থেকে ছোট।
উদাহরণ হিসেবে বলা যায়, ১০১০১০ সংখ্যাটি উপরের তিনটি শর্তই মেনে চলে।
আচ্ছা তোমরা কি সৌভিক এর সাথে একমত? এই তিনটি শর্ত মেনে চলে, এমন সংখ্যা কি আসলে ২০টি নাকি কম-বেশি হতে পারে?
Problem Weekly-20: Number-lover Souvik is thinking about numbers as always during the Eid vacation. He is making numbers where each digit is either 0 or 1. For example, 101010 is one of those numbers. Interestingly, this number is divisible by 6. Souvik has tried to find many more such numbers. He eventually finds 20 different numbers that satisfy the following conditions-
1. Each digit of the number consists of zero (o) or one (1) digit.
2. The number is divisible by six.
3. The number is less than 100000000.
For example, the number 101010 satisfies the above three conditions.
Do you agree with Souvik? Are there actually 20 numbers that satisfy these three conditions or is it more or less than the given number?
সমাধান: যেহেতু সংখ্যাটি 6 দ্বারা বিভাজ্য, তাহলে বলা যায় সংখ্যাটিকে অবশ্যই জোড় হতে হবে। আবার সংখ্যাটিতে শুধুমাত্র 1 বা 0 এই অংকগুলো আছে, তাই সংখ্যাটির শেষে অবশ্যই 0 থাকতে হবে।
যেহেতু সংখ্যাটি 6 দ্বারা বিভাজ্য, তাই সংখ্যাটি অবশ্যই 2 এবং 3 দ্বারা বিভাজ্য হবে।
আমরা জানি, 3 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যার ক্ষেত্রে সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফলকে অবশ্যই 3 দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।
প্রদত্ত শর্তানুসারে, সংখ্যাটি অবশ্যই 100000000 এর চেয়ে ছোট হবে। এখান থেকে আমরা বলতে পারি, সংখ্যাটিতে সর্বোচ্চ 7 টি অশূন্য সংখ্যা বা 1 থাকতে পারবে! (এটা কীভাবে নিশ্চিত হলাম আমরা? কারণ খুঁজে বের করো।)
সংখ্যাটিতে যেহেতু সর্বাধিক 8টি অংক থাকতে পারবে, তাই সংখ্যাটিকে abcdefg0 হিসেবে লিখা যায় যেখানে a, b, c, d, e, f এবং g এর মান 0 অথবা 1 হতে পারে।
এখন আমাদের এরকম সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যাদের অঙ্কের যোগফল 3 অথবা 6। যদি সংখ্যাটিতে 1 অঙ্কটি 6 বার থাকে, তাহলে 1-কে যেখানে যেখানে বসানো যেতে পারে যেগুলো বের করি-
11111100
11111010
11110110
11101110
11011110
10111110
01111110
এমন সংখ্যা হতে পারে মোট 7 টি! ((এখানে 01111110 সংখ্যাটি সাত অঙ্কের সংখ্যাকে নির্দেশ করছে)
যদি সংখ্যাটিতে 1 অঙ্কটি 3 বার থাকে, তাহলে 1 অঙ্কটিকে যেসব জায়গায় বসানো যেতে পারে সেটা বের করি-
|
11100000 |
10100100 |
10000110 |
01010010 |
00101100 |
|
11010000 |
10100010 |
01110000 |
01001100 |
00101010 |
|
11001000 |
10011000 |
01101000 |
01001010 |
00100110 |
|
11000100 |
10010100 |
01100100 |
01000110 |
00011100 |
|
11000010 |
10010010 |
01100010 |
00111000 |
00011010 |
|
10110000 |
10001100 |
01011000 |
00110100 |
00010110 |
|
10101000 |
10001010 |
01010100 |
00110010 |
00001110 |
এখানে মোট 35টি সংখ্যা আছে যারা উপরের শর্ত মেনে চলে। তাহলে মোট সংখ্যা হবে- 35 + 7 = 42 টি ।
(বি. দ্র. যারা বিন্যাস সমাবেশ সম্পর্কে জানে, তারা কিন্তু না গুনেই বের করতে পারবে। যেমন: 7C3 = 35 এবং 7C6 = 7)
সুতরাং, 42টি সংখ্যা আছে যারা উপরের তিনটি শর্ত মেনে চলে! এটাই আমাদের এই সপ্তাহের গাণিতিক সমস্যার উত্তর।
অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। শুধুমাত্র ২ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-২০ এ আমাদের বিজয়ী ২ জন!
ছবি: সাপ্তাহিক সমস্যা-২০ এর বিজয়ীদের তালিকা
যারা উত্তর পাঠিয়েছেন, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি আপনাদের সমস্যা সমাধানের এই যাত্রা অব্যাহত থাকবে। সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!
(আমাদের অন্যান্য গাণিতিক সমস্যা দেখতে এই লিঙ্কে ক্লিক করুন।)