সাপ্তাহিক সমস্যা-১৬: সংখ্যাভাবুক সৌভিক প্রতিদিনের মত আজকে সকাল থেকে বিভিন্ন সংখ্যা নিয়ে চিন্তা করছে। সৌভিক বিভাজ্যতা এবং উৎপাদক নিয়ে আজকে চিন্তা করছে। সে খাতায় বিভিন্ন সংখ্যা এবং তাদের উৎপাদকগুলো বের করে লিখে রাখছে। হঠাৎ করে সে একটা মজার ব্যাপার লক্ষ করলো, সে একটা সংখ্যার মোট ১৬টি উৎপাদক বের করেছে এবং এই ১৬টি উৎপাদকের এককের ঘরের অঙ্কে ০ থেকে ৯ পর্যন্ত সবগুলো অঙ্কই আছে। এরকম বৈশিষ্ট্য অনেক সংখ্যার মধ্যেই থাকতে পারে। সবচেয়ে ছোট এমন কোন সংখ্যা আছে তুমি কি সেটি বের করতে পারবে?
উদাহরণ হিসেবে যদি ১১০ এর কথা চিন্তা করি, ১১০ এর উৎপাদক হিসেব করলে পাওয়া যাবে- ১, ২, ৫, ১০, ১১, ৫৫, ১১০। এখানে সবগুলো উৎপাদকের শেষের অঙ্কে বা এককের অঙ্কে ০, ১, ২ এবং ৫ অঙ্কটি আছে।
Problem Weekly-16: Number-lover Souvik has been thinking about different numbers since this morning like every day. Souvik is thinking today about divisibility and the factors of numbers. He is writing down different numbers and their factors in this notebook. Suddenly he noticed something interesting. He found a total of 16 factors of a number. And these factors have all the digits 0 to 9 in their unit place or ending with each decimal digit, i.e. 0, 1, 2, … and 9. Such properties can exist in many numbers. Can you find the smallest number?
For example, if we consider the number 110 as an example, then the factors of 110 are 1, 2, 5, 10, 11, 55, 110. All these factors have the digits 0, 1, 2, and 5 in the last digit or in the unit digit.
সমাধান: শুরুতে, আমরা যদি বিভাজ্যতা নিয়ে খুব সহজ কয়েকটি জিনিস প্রয়োগ করি তাহলে সমস্যাটি সমাধান করা সহজ হবে।
যেহেতু আমাদের কাঙ্ক্ষিত পূর্ণসংখ্যার উৎপাদকের মধ্যে একটির শেষে অবশ্যই শুন্য থাকতে হবে, এটা নিশ্চিত করে বলা যায় যে সংখ্যাটি অবশ্যই 10 এর গুণিতক হবে বা 10 দ্বারা বিভাজ্য হবে।
তাহলে, কাঙ্ক্ষিত সংখ্যাটির একটি বৈশিষ্ট্য- সংখ্যাটি 10 এর গুণিতক হবে।
আবার, কাঙ্ক্ষিত পূর্ণসংখ্যাটির উৎপাদকের মধ্যে একটির শেষে অবশ্যই 7 অংকটি থাকতে হবে। তাহলে আমরা বলতে পারি যে, আমাদের কাঙ্ক্ষিত সংখ্যাটি 7 এর গুণিতক হতে পারে কিংবা 7, 14, 17, 21, 27… এই ধরণের সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হতে পারে। এরকম সংখ্যার তালিকা নিম্নরূপ:
70, 140, 170, 210, 240, 270, 280, 350, 370, 420…..
আবার, পূর্ণসংখ্যাটির উৎপাদকের মধ্যে একটির শেষে অবশ্যই 3 অংকটি থাকতে হবে। সে অনুযায়ী আমরা বলতে পারি, আমাদের কাঙ্ক্ষিত সংখ্যাটি অবশ্যই 3 কিংবা 13 কিংবা 23 …এই ধরণের সংখ্যা দিয়ে বিভাজ্য হবে। এরকম সংখ্যার তালিকা নিম্নরূপ:
30, 60, 90, 120, 130, 150, 180, 210, 230, 240, 270, 300…..
উপরের কয়েকটি শর্ত অনুসারে আমাদের কাঙ্ক্ষিত সংখ্যাটি হতে পারে-
210, 270, 420……
এখন 210 এর ক্ষেত্রে আমরা চিন্তা করি। 210 এর উৎপাদকগুলো হলো-
1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210
দেখা যাচ্ছে যে, এখানে এরকম কোন উৎপাদক নেই যার শেষের অঙ্ক 8 কিংবা 9। তাহলে, 210 আমাদের উত্তর হবে না।
আমরা 270 এর উৎপাদক বের করার চেষ্টা করি। সংখ্যাটির উৎপাদকগুলো হল-
1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 27, 30, 45, 54, 90, 135, 270
এখানে খুবই স্পষ্ট যে, 270 এর মোট 16টি উৎপাদক এবং এগুলোর শেষে 0 থেকে শুরু করে 9 পর্যন্ত সব কয়টি অঙ্ক রয়েছে!
সুতরাং, আমাদের সাপ্তাহিক সমস্যা-১৬ এর উত্তর হবে 270।
আচ্ছা, 270 এর পরবর্তী দুইটি সংখ্যা কত হবে সেটা কী বের করতে পারবে? পারলে ঝটপট আমাদের কমেন্টে জানিয়ে দাও তোমার উত্তর।
অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। মোট ২ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি আমরা, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-১৬ এ আমাদের মোট বিজয়ী ২ জন!
ছবি: সাপ্তাহিক সমস্যা-১৬ এর বিজয়ী তালিকা
যারা উত্তর পাঠিয়েছেন, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি আপনাদের সমস্যা সমাধানের এই যাত্রা অব্যাহত থাকবে। সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!
(আমাদের অন্যান্য গাণিতিক সমস্যা দেখতে এই লিঙ্কে ক্লিক করুন।)