সাপ্তাহিক সমস্যা-২৫: সংখ্যাভাবুক সৌভিক সংখ্যার ধারা এবং সেটির যোগফল নির্ণয় করার পদ্ধতি সম্পর্কে খুব সম্প্রতি জেনেছে। তারপর থেকে সে সুযোগ পেলেই বিভিন্ন সংখ্যা লিখে তাদের মধ্যে কোনো ধারা পাওয়া যায় কি না, কিংবা ধারার যোগফল বের করা যায় কিনা সেটি নিয়ে ভাবতে থাকে। সৌভিকের বন্ধু জ্যামিতিক জামি আবার জ্যামিতির সমস্যা অনেক পছন্দ করে। জামির সংখ্যা নিয়ে চিন্তা করতে খুব একটা ভালো লাগে না। এজন্য সৌভিক সুযোগ পেলেই জামিকে সংখ্যা সংক্রান্ত সমস্যা সমাধান করতে দেয়। সৌভিক জামির জন্য ধারার একটি নতুন সমস্যা মনে মনে চিন্তা করলো। সমস্যাটি এরকম-
2, 4, 4, 1, 1, 3, 9, -1, 0, 2, 14, -3,…………
এভাবে এই ধারার জন্য কয়েকটি সংখ্যা লেখা হলো। প্রথমে সংখ্যাগুলো জামির কাছে হিজিবিজি হিজিবিজি মনে হলেও সংখ্যাগুলোর মধ্যে কিন্তু একটা নির্দিষ্ট প্যাটার্ন আছে। যদি ধারাটি এভাবে চলতে থাকে, তবে প্রথম ১১১ টি সংখ্যার যোগফল কত হবে? জামি এই সমস্যাটি নিয়ে অনেক চিন্তা করেও কোন সমাধানে আসতে পারছে না। তুমি কি জামিকে সাহায্য করতে পারবে?
Problem Weekly-25: Number-lover Souvik has recently learned about number series and the process of finding the sum of those series. Now, whenever he gets a chance, he writes down different numbers to see if there exists a series between them or if the sum of the series can be calculated. However, Souvik’s friend Geometric Jami likes geometry problems. He doesn’t like that much to think about numbers like Souvik. That’s why Souvik pushes Jami to solve number-related problems whenever he gets a chance. As it said, Souvik has thought of a new series problem for Jami. The problem is like this-
2, 4, 4, 1, 1, 3, 9, -1, 0, 2, 14, -3,…………
At first, the numbers seem random to Jami like HIJIBIJI HIJIBIJI but there is a pattern between these numbers. If the series does continue this way, what will be the sum of the first 111 terms? Jami is trying hard but still doesn’t know how to approach this problem. Can you help Jami to solve this problem?
সমাধান: আমরা যদি সংখ্যাগুলো দেখি, সংখ্যাগুলোর মধ্যে আপাতদৃষ্টিতে কোন সম্পর্ক পাবো না। তবে লক্ষ করলে দেখা যাবে যে, কিছু সংখ্যা আছে যেগুলো বৃদ্ধি যেমন
9, 14….
আবার দেখা যাচ্ছে, ৭ম পদ হলো 9 এবং ১১ তম পদ হলো 14। একই ধারাবাহিকতায়, ৩য় পদ হলো 4। এখানে দেখা যাচ্ছে যে, 4, 9, 14 এর মধ্যে একটা প্যাটার্ন আছে।
তাহলে আমরা সংখ্যাগুলোকে এভাবে নিচের ছকে লিখি-
|
2 |
4 |
4 |
1 |
|
1 |
3 |
9 |
-1 |
|
0 |
2 |
14 |
-3 |
এখন কিন্তু খুব সহজেই আমরা অনেকগুলো সম্পর্ক পাচ্ছি । আরো সহজ করে বললে, এখানে আলাদা আলাদা চারটি প্যাটার্ন আছে যেটা এরকম-
2, 1, 0……
4, 3, 2……
4, 9, 14…..
1, -1, -3……
প্রদত্ত প্রশ্নমতে, 111 তম পদ পর্যন্ত যোগফল বের করতে হবে আমাদের। যেহেতু আমরা চার ধরণের প্যাটার্ন পেয়েছি, 111 কে 4 দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল হবে 27, ভাগশেষ থাকবে ৩। অর্থাৎ আমরা বলতে পারি, 111 টি পদের মধ্যে 27টি সংখ্যা থাকবে যারা শুধুমাত্র 1, -1, -3…. এই ধারা মেনে চলবে। বাকি তিনটি ধারার ক্ষেত্রে 28টি করে পদ থাকবে। (এটা কীভাবে আমরা নিশ্চিত হলাম?)
এখন আলাদা করে চারটি ধারা বা প্যাটার্নের যোগফল বের করে, সবগুলো একসাথে যোগ করলেই আমরা 111টি পদের যোগফল পেয়ে যাবো।
|
১ম ধারার ক্ষেত্রে |
২য় ধারার ক্ষেত্রে |
৩য় ধারার ক্ষেত্রে |
৪র্থ ধারার ক্ষেত্রে |
|
প্রথম পদ = 2 |
প্রথম পদ = 4 |
প্রথম পদ = 4 |
প্রথম পদ = 1 |
|
পদ সংখ্যা = 28 |
পদ সংখ্যা = 28 |
পদ সংখ্যা = 28 |
পদ সংখ্যা = 27 |
|
সাধারণ অন্তর = -1 |
সাধারণ অন্তর = -1 |
সাধারণ অন্তর = 5 |
সাধারণ অন্তর = -2 |
|
28টি পদের যোগফল = 14(4-27)= -322 |
28টি পদের যোগফল = 14(8-27)=-266 |
28টি পদের যোগফল = 14(8+27*5) = 2002 |
27টি পদের যোগফল = 13.5(2-52) = -675 |
তাহলে 111 তম পদ পর্যন্ত যোগফল হবে: (-322) + (-266) + 2002 + (-675) = 739
চাইলে আমরা অন্যভাবেও সমস্যাটির সমাধান করতে পারি। আমরা প্রথম থেকে চারটি করে সংখ্যা নিয়ে যোগ করি তাহলে ধারাটি এরকম আসবে-
11, 12, 13 …
তাহলে 11, 12, 13 … এই ধারার প্রথম 28টি পদের যোগফল বের করে তার থেকে থেকে 1, -1, -3…… এই ধারাটির 28 তম পদ বিয়োগ করলেই আমরা উত্তর পেয়ে যাবো! (এটা কি ঠিক? যাচাই করে দেখো তো!)
তাহলে, 739 সংখ্যাটি হচ্ছে আমাদের সাপ্তাহিক সমস্যা-২৫ এর উত্তর।
অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। তবে আমরা ২ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-২৫ এ বিজয়ী দুইজন!
ছবি: সাপ্তাহিক সমস্যা-২৫ এর বিজয়ী তালিকা
যারা সমস্যাটির সমাধান করার চেষ্টা করেছো, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি তোমাদের সমস্যা সমাধানের এই চেষ্টা অব্যাহত থাকবে। তোমাদের সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!
(আমাদের অন্যান্য গাণিতিক সমস্যা দেখতে এই লিঙ্কে ক্লিক করুন।)