সাপ্তাহিক সমস্যা-১৮: সংখ্যাভাবুক সৌভিক প্রতিদিনের মত নিজের খাতায় বিভিন্ন সংখ্যা লিখে চিন্তা-ভাবনা করছে। আজকে সে মৌলিক সংখ্যার যে লুকায়িত সৌন্দর্য আছে, সেটি নিয়ে ভাবছে। মৌলিক সংখ্যা হলো সেসব সংখ্যা যাদেরকে শুধুমাত্র 1 এবং ঐ সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায়। যেমন: 3, 5, 11 ইত্যাদি। মৌলিক সংখ্যা নিয়ে কিছু মজার তথ্য আছে যেমন: 2 একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা, সবচেয়ে বড় মৌলিক সংখ্যা নিশ্চিত করে বলা যায় না, টেলিযোগাযোগ প্রযুক্তিতে মৌলিক সংখ্যা ব্যবহার করা হয় ইত্যাদি।
যাই হোক, সৌভিক চিন্তা করতে করতে খাতায় দুইটি মৌলিক সংখ্যা লিখলো। সে তখন মজার একটা ব্যাপার লক্ষ করলো। বোঝার সুবিধার্থে ধরা যাক, সৌভিক খাতায় a, b দুইটি মৌলিক সংখ্যা লিখেছে। মজার ব্যাপার, a+b ও একটি মৌলিক সংখ্যা, 2a-1 এবং 2b-1 এই দুইটি রাশিও মৌলিক সংখ্যা! অর্থাৎ a, b, a+b, 2b-1, 2a-1 এই পাঁচটিই মৌলিক সংখ্যা। আচ্ছা বলতো, এরকম বৈশিষ্ট্য সৌভিক কয়বার দেখতে পারবে? উত্তরের স্বপক্ষে ভালো যুক্তি দিতে হবে কিন্তু!
Problem Weekly-18:Number-lover Souvik is thinking about different numbers as usual. Today he is thinking about the hidden beauty of prime numbers. Prime numbers are those numbers that can only be divided by 1, and that number. For example 3, 5, 11, etc. Some properties of prime numbers are such as 2 is the only even prime number, and the largest prime number cannot be said with certainty, these numbers are used in the telecommunication sector, etc.
Souvik noticed an interesting fact when he wrote two prime numbers in his notebook. For understanding, let’s say that Souvik writes two prime numbers a,b in his notebook. An interesting fact is that a+b is a prime number, and 2a-1 and 2b-1 are also prime numbers. It means a, b, a+b, 2b-1, 2a-1 all five are prime numbers. Well, how many times can Souvik see such an incident? You must answer with strong logic in favor of your statement!
সমাধান: শর্তমতে, a, b, a+b, 2b-1, 2a-1 এই পাঁচটি সংখ্যাই মৌলিক সংখ্যা হতে হবে।
এখন a, b এই দুইটি যদি বিজোড় সংখ্যা হয়, তাহলে a+b অবশ্যই জোড় সংখ্যা হতে হবে।
কিন্তু a+b জোড় মৌলিক সংখ্যা হলে a+b = 2 হতে হবে যেটা অসম্ভব!
তাহলে বলা যায়, a, b এর মধ্যে একটি জোড় এবং একটি বিজোড় মৌলিক সংখ্যা হতে হবে। এর মানে একটির মান হবে 2।
ধরি, a = 2
তাহলে, 2a – 1 = 2*2 – 1 = 3 যা একটি মৌলিক সংখ্যা।
এবার আমাদেরকে b এর এমন একটি মান বের করতে হবে যেন b, b+2, 2b-1 এই তিনটি সংখ্যাই মৌলিক হয়।
যেহেতু b একটি বিজোড় সংখ্যা এবং b, b+2 দুইটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যা, তাহলে ধরে নিই, b এর মান 3 এর চেয়ে বেশী।
এখান থেকে আমরা বলতে পারি, b কে 6 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 5 থাকবে এবং b+2 কে 6 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 1 থাকবে।
অর্থাৎ, b কে আমরা 6k-1 আকারে লিখতে পারবো।
[ নোট: 2 এবং 3 বাদে যে কোনো বিজোড় মৌলিক সংখ্যাকে 6k+1 বা 6k-1 আকারে লেখা যায়। যেমন: 11 = 6*2-1, 43 = 6*7+1 ইত্যাদি ]
যদি b = 6k-1 হয়, তাহলে 2b-1 কে আমরা লিখতে পারি-
2b-1 = 2(6k-1) -1 = 12k-2-1= 12k-3 =3(4k-1)
অর্থাৎ আমরা বলতে পারি, 2b-1 সংখ্যাটি 3 দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি b এর মান 3 এর চেয়ে বড় হয়।
যদি b এর মান 3 হয় তাহলে-
a=2, যা একটি মৌলিক সংখ্যা
b=3, যা একটি মৌলিক সংখ্যা
2b-1 = 2*3-1 = 5, যা একটি মৌলিক সংখ্যা
a+b = 2+3 = 5, যা একটি মৌলিক সংখ্যা
2a-1 = 2*2-1 = 3, যা একটি মৌলিক সংখ্যা
সুতরাং, a = 2 এবং b = 3 অথবা a = 3 এবং b = 2 এটি দুইটিই সম্ভব্য সমাধান।
অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। মোট ২ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি আমরা, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-১৮ এ আমাদের মোট বিজয়ী ২ জন!
ছবি: সাপ্তাহিক সমস্যা-১৮ এর বিজয়ীদের তালিকা
যারা উত্তর পাঠিয়েছেন, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি আপনাদের সমস্যা সমাধানের এই যাত্রা অব্যাহত থাকবে। সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!
(আমাদের অন্যান্য গাণিতিক সমস্যা দেখতে এই লিঙ্কে ক্লিক করুন।)