সাপ্তাহিক সমস্যা-০৫: সংখ্যাভাবুক সৌভিক বিকালে বাসায় বসে টিভিতে ক্রিকেট খেলা দেখছে। ইংল্যান্ড এবং ওয়েস্ট ইন্ডিজ এর মধ্যকার খেলা চলছে। খেলাতে ক্রিস গেইল ৫ ওভারের একটি ম্যাচে একাই পুরো ম্যাচ ব্যাটিং করেছে। অন্য কোনো ব্যাটসম্যানকে কোনো বল খেলার সুযোগ দেন নি। ৫ ওভারের ম্যাচে চার মেরেছে ৫ বার এবং ছয় মেরেছে ১০বার! আবার, গেইল খেলা শেষে নট আউট ছিল। খেলাটিতে দৌড়িয়ে এক কিংবা দুই বা তিন রান প্রান্ত বদল করে নেওয়া সম্ভব। আর চার এবং ছয় রান তো আছেই। খেলাটিতে কোনো অতিরিক্ত রান ছিল না।সৌভিক হিসেব করে দেখলো গেইল যত রান করেছে সেটি একটি মৌলিক সংখ্যা!
প্রশ্ন হলো, ক্রিকেট ম্যাচটিতে গেইল সম্ভাব্য কত রান করেছিলো এবং দৌড়িয়ে কতবার সে দুই রান নিয়েছিলো?
Problem Weekly-05: Number-lover Souvik is sitting at home in the afternoon watching the cricket match on TV. The cricket match is between England and West Indies. Chris Gayle batted the entire half alone in a match of 5 overs in the game. He did not give any other batsman a chance to play any ball. He hit fours 5 times and sixes 10 times in 5 overs. And he was not out at the end of the game. It is possible to make one or two or three runs by changing the end of the pitch through running in the game. There are also four and six runs. There were no extra runs in the game. Souvik calculated that the number of runs Gayle scored was a prime number!
The question is how many runs did Gayle score in a cricket match and how many times did he take two runs by running?
সমাধান: গেইল যেহেতু অন্য ব্যাটসম্যানকে কোন বল খেলার সুযোগ দেয় নি এবং খেলা শেষে নট আউট ছিল; তার মানে গেইল একাই 30টি বল খেলেছে এবং পুরো খেলায় কেউ তাকে আউট করতে পারেনি।
খেলায় গেইল চার মেরেছে 5 বার এবং ছয় মেরেছে 10 বার।
অর্থাৎ, 15 বলে সে মোট রান করেছে = (4 × 5) + (6× 10) = 80 রান
বাকি থাকলো 15 বল। এই 15 বলে অবশ্যই তাকে 0, 1, 2, 3 এই রানগুলো করতে হয়েছে।
আবার, প্রথম 4 ওভারের ক্ষেত্রে প্রতি ওভারের শেষ বলে অবশ্যই গেইলকে বিজোড় সংখ্যক রান দৌড়িয়ে নিতে হবে, যাতে করে সে পরবর্তী ওভারের শুরু থেকেই ব্যাটিং করার সুযোগ পায়।
ওভারের মাঝখানে এবং পঞ্চম ওভারের শেষ বলে গেইল চাইলে শুন্য রান কিংবা দৌড়িয়ে দুই রান নিতে পারবে।
এখন, গেইল যদি প্রথম চার ওভারের ক্ষেত্রে শেষ বলে বিজোড় সংখ্যক রান নেয় এবং পঞ্চম ওভারের শেষ বলে জোড় সংখ্যক রান নেয়, তাহলে কোনভাবেই গেইলের মোট রান বিজোড় সংখ্যা কিংবা মৌলিক সংখ্যা হতে পারবে না! (এই দাবি কি যৌক্তিক? পাঠকের কাছে প্রশ্ন থাকলো!)
তাহলে আমরা সিদ্ধান্ত নিতে পারি যে, গেইলকে অবশ্যই পঞ্চম ওভারের শেষ বলে বিজোড় সংখ্যক রান নিতে হবে।
আচ্ছা, এখন গেইল এই ম্যাচে সর্বনিম্ন যে রান করতে পারে সেটা হলো-
85 রান ( চার রান- 5 বার, ছয় রান- 10 বার, এক রান- 5 বার , শুন্য রান বা ডট বল- 10 বার)।
গেইল এই ম্যাচে সর্বোচ্চ যে রান করতে পারে সেটা হলো-
115 রান ( চার রান- 5 বার, ছয় রান- 10 বার, তিন রান- 5 বার, দুই রান- ১০ বার)।
এই খেলায় গেইলের রান একটি মৌলিক সংখ্যা হবে। 85 এবং 115 এর মাঝে মোট মৌলিক সংখ্যা আছে 7 টি:
89 , 97, 101, 103 , 107, 109, 113
এখানের কোন কোন রান সম্ভব আমরা সেটা হিসেব করে দেখি-
|
89 |
0 run = 8 times |
1 run = 5 times |
2 run = 2 times |
|
3 run = 0 times |
4 run = 5 times |
6 run = 10 times |
|
|
97 |
0 run = 4 times |
1 run = 5 times |
2 run = 6 times |
|
3 run = 0 times |
4 run = 5 times |
6 run = 10 times |
|
|
101 |
0 run = 2 times |
1 run = 5 times |
2 run = 8 times |
|
3 run = 0 times |
4 run = 5 times |
6 run = 10 times |
|
|
103 |
0 run = 1 times |
1 run = 5 times |
2 run = 9 times |
|
3 run = 0 times |
4 run = 5 times |
6 run = 10 times |
|
|
107 |
0 run = 0 times |
1 run = 4 times |
2 run = 10 times |
|
3 run = 1 times |
4 run = 5 times |
6 run = 10 times |
|
|
109 |
0 run = 0 times |
1 run = 3 times |
2 run = 10 times |
|
3 run = 2 times |
4 run = 5 times |
6 run = 10 times |
|
|
113 |
0 run = 0 times |
1 run = 1 times |
2 run = 10 times |
|
3 run = 4 times |
4 run = 5 times |
6 run = 10 times |
আমরা দেখছি, সবগুলো রানই হিসেব অনুযায়ী সম্ভব! আবার, একটু খেয়াল করলে আমরা বুঝতে পারবো যে,
একই রান চাইলে ভিন্ন ভিন্ন উপায়েও করা সম্ভব ছিলো। যেমন:
|
101 |
0 run = 2 times |
1 run = 5 times |
2 run = 8 times |
|
3 run = 0 times |
4 run = 5 times |
6 run = 10 times |
|
|
101 |
0 run = 7 times |
1 run = 0 times |
2 run = 3 times |
|
3 run = 5 times |
4 run = 5 times |
6 run = 10 times |
উপরের ছক থেকে সহজেই বুঝা যাচ্ছে গেইলের সম্ভাব্য রান কত ছিলো এবং সে মোট কতবার দৌড়িয়ে 2 রান নিয়েছিলো।
অনেকেই আমাদের কাছে এই সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছেন। তবে, সম্পূর্ণ সমাধান কেউ করতে পারেন নি। বেশিরভাগ সমাধানে আংশিক উত্তর এসেছে (যেমন: 107 কিংবা 113 রান)। এজন্য, সাপ্তাহিক সমস্যা-০৫ এ কাউকে বিজয়ী ঘোষণা করা হচ্ছে না!
যারা উত্তর পাঠিয়েছেন, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি আপনাদের সমস্যা সমাধানের এই যাত্রা অব্যাহত থাকবে। সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!
(আমাদের অন্যান্য গাণিতিক সমস্যা দেখতে এই লিঙ্কে ক্লিক করুন